解方程式 25x² + 10x = 6。

Step-by-step solution

1. 1

   把方程式寫成標準式。 兩邊同減 $6$：

   $25x^2+10x-6=0$

   於是 $a=25$、$b=10$、$c=-6$。

2. 2

   計算判別式。

   $\Delta=b^2-4ac=100-4(25)(-6)=100+600=700$

   它是正的，但不是完全平方數（$26^2=676$、$27^2=729$），所以可以預期兩個無理根，也不會有整數分解。

3. 3

   套一元二次方程式的公式解。

   $x=\frac{-10\pm\sqrt{700}}{50}$

4. 4

   先化簡根號，再化簡分數。 從 $700=100\cdot 7$ 裡把最大的完全平方數提出來：

   $\sqrt{700}=10\sqrt7\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{-10\pm 10\sqrt7}{50}=\frac{-1\pm\sqrt7}{5}$

   分子與分母的每一項都含有因數 $10$，所以約掉是合法的。

5. 5

   做數值驗算。 $\sqrt7\approx 2.6458$，得到 $x\approx 0.3292$ 或 $x\approx-0.7292$。接著 $25(0.3292)^2+10(0.3292)\approx 2.709+3.292\approx 6.00$ $\checkmark$。