求所有使方程式 x^2 - (2k - 1)x + 1 = 0 有一根落在區間 (0, 1)、另一根落在區間 (2, 3) 的常數 k 之值。

Step-by-step solution

1. 1

   把根的位置翻譯成正負號條件，而不是去看判別式。 令 $f(x)=x^2-(2k-1)x+1$。拋物線開口向上，所以它恰在兩根之間為負。要求一根嚴格落在 $(0,1)$、另一根嚴格落在 $(2,3)$，等價於下列四個正負號條件：

   $f(0)>0,\qquad f(1)<0,\qquad f(2)<0,\qquad f(3)>0.$

   每一次嚴格變號都逼出一個介於相鄰兩測試點之間的根，而四個測試點呈 $+,-,-,+$ 的型態，正好把一個根關在 $(0,1)$、一個關在 $(2,3)$。判別式的條件是白送的——只要有變號就保證有實根。

2. 2

   在四個測試點算出 $f$ 的值。

   $f(0)=1$

   $f(1)=1-(2k-1)+1=3-2k$

   $f(2)=4-2(2k-1)+1=7-4k$

   $f(3)=9-3(2k-1)+1=13-6k$

3. 3

   逐一加上條件。

   $f(0)=1>0\quad\text{——對所有 k 都自動成立。}$

   $f(1)=3-2k<0\;\Longrightarrow\;k>\frac32$

   $f(2)=7-4k<0\;\Longrightarrow\;k>\frac74$

   $f(3)=13-6k>0\;\Longrightarrow\;k<\frac{13}{6}$

4. 4

   取所有條件的交集。 因為 $\tfrac74>\tfrac32$，$f(1)$ 的條件被 $f(2)$ 的條件吸收，剩下

   $\frac74<k<\frac{13}{6}.$

5. 5

   用兩根之積做獨立驗證。 由根與係數關係，兩根之積為 $1$，所以兩根互為倒數：$r$ 與 $1/r$。若 $r\in(2,3)$，則自動有 $1/r\in\left(\tfrac13,\tfrac12\right)\subset(0,1)$——小根的條件並沒有提供額外資訊，這與前面代數的結果完全一致。由兩根之和得

   $r+\frac1r=2k-1\;\Longrightarrow\;k=\frac12\left(r+\frac1r+1\right),$

   而 $r+\tfrac1r$ 在 $r>1$ 時遞增，所以當 $r$ 跑遍 $(2,3)$ 時，$k$ 跑遍 $\left(\tfrac12\left(\tfrac52+1\right),\tfrac12\left(\tfrac{10}{3}+1\right)\right)=\left(\tfrac74,\tfrac{13}{6}\right)$——同一個區間。

6. 6

   取範圍內與剛好在範圍外的值各抽查一次。 取 $k=2$：$x^2-3x+1=0$ 的兩根為 $0.382$ 與 $2.618$——各落在一個區間內，符合要求。取 $k=2.2$（剛好超過 $13/6\approx2.1667$）：兩根為 $0.325$ 與 $3.075$，大根已經跑到 $3$ 的外面，印證了上界的正確性。