解 27x³ − 54x² + 36x − 8 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先找完全立方，再考慮三次方程式的公式解。 首項與末項都是完全立方：

   $27x^{3}=(3x)^{3},\qquad 8=2^{3}.$

   正負號交錯（$+,-,+,-$）指向差的形式 $(a-b)^{3}$，所以在動用更麻煩的做法之前，值得先試 $a=3x$ 與 $b=2$。認出這個型式，三次方程式就變成一行解完的題目。

2. 2

   把 $(3x-2)^{3}$ 展開來比對。 套用 $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$：

   $(3x-2)^{3}=(3x)^{3}-3(3x)^{2}(2)+3(3x)(2)^{2}-2^{3}=27x^{3}-54x^{2}+36x-8.$

   每一個係數都與原式相符。中間那兩項要仔細核對：$3\cdot 9x^{2}\cdot 2=54x^{2}$ 與 $3\cdot 3x\cdot 4=36x$——猜錯的時候，正是這兩項會對不上。

3. 3

   把方程式寫成因式分解的形式。 於是方程式成為

   $(3x-2)^{3}=0.$

   一個立方等於零，只有在它的底等於零時才成立，因為不論在實數還是複數範圍，$t^{3}=0\iff t=0$。沒有第二種情況要考慮。

4. 4

   解那個一次方程式。 由 $3x-2=0$：

   $3x=2\;\Longrightarrow\;x=\frac{2}{3}.$

   所以這個三次方程式只有 $x=\tfrac23$ 一個根，而且重數為三——這個三次多項式的三個根全部重合在一起。就圖形而言，曲線在該點是貼著 $x$ 軸壓平，而不是陡陡地穿過去。

5. 5

   用代入與根與係數關係雙重驗算。 代入：$27\cdot\tfrac{8}{27}-54\cdot\tfrac49+36\cdot\tfrac23-8=8-24+24-8=0$ ✓。根與係數關係也吻合：三個根的和必須是 $-\tfrac{-54}{27}=2=3\times\tfrac23$ ✓，乘積必須是 $\tfrac{8}{27}=\left(\tfrac23\right)^{3}$ ✓。