若 (x + 1)³ + (x − 2)³ − 2x²(x − 1.5) = 3，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   用二項式公式把兩個立方展開。 利用 $(x+b)^3=x^3+3bx^2+3b^2x+b^3$：

   $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$

   $(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8$

   第二個才是正負號要當心的地方：$3(-2)^2=12$ 是正的，而 $3(-2)=-6$ 與 $(-2)^3=-8$ 都是負的。

2. 2

   把兩式相加。

   $(x+1)^3+(x-2)^3=2x^3-3x^2+15x-7$

3. 3

   展開被減掉的那個乘積。

   $2x^2\left(x-1.5\right)=2x^3-3x^2$

   注意 $1.5=\tfrac32$，所以 $2x^2\cdot\tfrac32=3x^2$ —— 這個小數只是把一個乾淨的分數偽裝了一下。

4. 4

   相減，看次數如何塌縮。

   $\left(2x^3-3x^2+15x-7\right)-\left(2x^3-3x^2\right)=15x-7$

   三次項和二次項都被消掉了，這正是這道題的用意：係數 $1.5$ 就是為了幹掉 $x^2$ 項而挑的。

5. 5

   求解並驗證。

   $15x-7=3\;\Longrightarrow\;15x=10\;\Longrightarrow\;x=\frac{2}{3}$

   代回檢驗：$\left(\tfrac53\right)^3+\left(-\tfrac43\right)^3-2\cdot\tfrac49\left(\tfrac23-\tfrac32\right)=\tfrac{125}{27}-\tfrac{64}{27}+\tfrac{8}{9}\cdot\tfrac{5}{6}=\tfrac{61}{27}+\tfrac{20}{27}=\tfrac{81}{27}=3\;\checkmark$