解四次方程式 2x^4 - 9x^3 + 3x^2 + 11x - 3 = 0，求出全部四個根。

Step-by-step solution

1. 1

   列出可能的有理根。 由有理根定理，任何有理根 $p/q$ 都滿足 $p$ 整除常數項 $-3$、$q$ 整除首項係數 $2$。於是候選為

   $\pm 1,\quad \pm 3,\quad \pm\tfrac12,\quad \pm\tfrac32$

   只要試八個數——遠比亂猜有效率。

2. 2

   逐一試出第一個根。 記 $f(x)=2x^4-9x^3+3x^2+11x-3$：

   $f(1)=2-9+3+11-3=4,\qquad f(3)=162-243+27+33-3=-24$
   $f(-1)=2+9+3-11-3=0$

   所以 $x=-1$ 是根，$(x+1)$ 是因式。注意 $x=3$ 不是根，儘管係數的長相很容易讓人以為是——永遠要實際代進去算，不要憑感覺。

3. 3

   用綜合除法把 $(x+1)$ 除掉。 把係數 $2,\,-9,\,3,\,11,\,-3$ 抄下來，用 $-1$ 做綜合除法：

   $2 \quad -11 \quad 14 \quad -3 \quad | \ 0$

   所以

   $2x^4-9x^3+3x^2+11x-3=(x+1)\left(2x^3-11x^2+14x-3\right)$

   餘式為 $0$ 印證了除法無誤；四次的問題現在降成三次。

4. 4

   從同一份候選名單裡找三次式的根。 對 $g(x)=2x^3-11x^2+14x-3$：

   $g(1)=2,\qquad g(3)=-6,\qquad g\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac32,\qquad g\!\left(\tfrac32\right)=\tfrac{27}{4}-\tfrac{99}{4}+21-3=0$

   所以 $x=\tfrac32$ 是根，貢獻因式 $(2x-3)$。除完得

   $2x^3-11x^2+14x-3=(2x-3)\left(x^2-4x+1\right)$

5. 5

   解剩下的二次式。 最後這個因式沒有有理根，所以對 $x^2-4x+1=0$ 用公式解：

   $x=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}=2\pm\sqrt3$

6. 6

   整合並驗證因式分解。 合起來是

   $2x^4-9x^3+3x^2+11x-3=(x+1)(2x-3)\left(x^2-4x+1\right)$

   把右邊展開會還原原本的係數 $2,\,-9,\,3,\,11,\,-3$。第二種檢查是用根與係數關係：四根之和為 $-1+\tfrac32+(2-\sqrt3)+(2+\sqrt3)=\tfrac92$，與 $-\frac{-9}{2}$ 相符；四根之積為 $-1\cdot\tfrac32\cdot(4-3)=-\tfrac32$，與 $\frac{-3}{2}$ 相符。