化簡 (√a + 1)/(a − 1)。

Step-by-step solution

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   看出藏起來的平方差。 當 $a\ge 0$ 時 $a=\left(\sqrt a\right)^{2}$、$1=1^{2}$，所以分母可以因式分解：

   $a-1=\left(\sqrt a\right)^{2}-1^{2}=\left(\sqrt a-1\right)\left(\sqrt a+1\right)$

   這是關鍵一步；少了它，這個分式看起來完全約不掉。

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   把分母換成因式分解後的形式。

   $\frac{\sqrt a+1}{\left(\sqrt a-1\right)\left(\sqrt a+1\right)}$

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   約掉公因式。 因為 $a\ge 0$，$\sqrt a+1\ge 1>0$，所以這個約分永遠合法，不會多出新的限制：

   $\frac{1}{\sqrt a-1}$

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   寫下定義域。 原式需要 $a\ge 0$（才能開平方）與 $a\neq 1$（分母不為零）；化簡後的式子帶著同樣兩個限制，因為 $\sqrt a-1=0$ 恰好發生在 $a=1$。

   $\boxed{\dfrac{1}{\sqrt a-1}\qquad(a\ge 0,\ a\neq 1)}$

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   代值檢查。 取 $a=9$：原式為 $\dfrac{3+1}{9-1}=\dfrac48=0.5$，化簡式為 $\dfrac{1}{3-1}=0.5$ ✓。取 $a=0.25$：原式 $=\dfrac{0.5+1}{0.25-1}=\dfrac{1.5}{-0.75}=-2$，化簡式 $=\dfrac{1}{0.5-1}=-2$ ✓ —— 連 $0\le a<1$ 這段負值區間也對得上。