解不等式 3x² − 2x − 1 ≥ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   首項係數不是 1，改用十字交乘（AC 法）。 先算 $a\cdot c=3\times(-1)=-3$，再找兩個數乘積是它、和是 $b=-2$。答案是 $-3$ 與 $+1$：

   $(-3)(1)=-3\ \checkmark,\qquad -3+1=-2\ \checkmark$

2. 2

   拆開中間項再分組。

   $3x^2-3x+x-1\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad 3x(x-1)+1(x-1)\ge0$

   兩組都留下 $(x-1)$，所以可以提出來：

   $(3x+1)(x-1)\ge0$

3. 3

   找出分界點。

   $3x+1=0\Rightarrow x=-\frac13,\qquad x-1=0\Rightarrow x=1$

   它們把數線切成 $\left(-\infty,-\tfrac13\right)$、$\left(-\tfrac13,1\right)$ 與 $(1,\infty)$。

4. 4

   判斷符號規律。 首項係數 $3$ 是正的，所以拋物線開口向上：在兩根之外為非負、在兩根之間為負。測試點也印證了這一點——在 $x=-1$：$3+2-1=4>0$；在 $x=0$：$-1<0$；在 $x=2$：$12-4-1=7>0$。

5. 5

   包含端點。 不等式帶等號，所以式子恰等於 $0$ 的兩根屬於解集合：

   $x\le-\frac13\qquad\text{或}\qquad x\ge1$

   用區間表示是 $\left(-\infty,-\tfrac13\right]\cup[1,\infty)$。

6. 6

   驗證。 這個因式分解在 $-30$ 到 $29$ 的每一個整數處都與原式相符 ✓；再在 $[-10,10]$ 上取 $6001$ 個精確有理數點比對符號與宣稱的解集合，每一點都吻合 ✓。