分式 (2 − 3x)/(x(x − 1)) 為正。x 屬於哪個集合？

Step-by-step solution

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   先列出所有變號點。 分式只在某個因式為零處變號。分子：$2-3x = 0$ 得 $x = \tfrac23$。分母：$x = 0$ 與 $x = 1$。所以一共三個點，由小到大是 $0 < \tfrac23 < 1$。

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   注意這兩類點的性質不同。 在 $x = \tfrac23$ 處分式等於 $0$，而它不是正數，所以嚴格不等式要把 $\tfrac23$ 排除。在 $x = 0$ 與 $x = 1$ 處分式沒有意義，同樣要排除。這裡每個端點都是開的。

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   逐個檢驗四個區間。

   區間	取點 $x$	分子	分母	商
   $(-\infty,0)$	$-1$	$+5$	$(-1)(-2) = +2$	正
   $(0,\tfrac23)$	$0.5$	$+0.5$	$(0.5)(-0.5) = -0.25$	負
   $(\tfrac23,1)$	$0.8$	$-0.4$	$(0.8)(-0.2) = -0.16$	正
   $(1,\infty)$	$2$	$-4$	$(2)(1) = +2$	負

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   讀出取正值的區間。 第一段與第三段上商為正：

   $x \in (-\infty,\,0) \cup \left(\tfrac23,\,1\right)$

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   想清楚正負號為什麼這樣交替。 越過 $x = 0$ 或 $x = 1$ 時，分母裡有一個一次因式變號；越過 $x = \tfrac23$ 時分子變號——所以在這三個點上每次都變號，正好就是表中那個交替的規律。

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   用符號運算確認。 對 $\dfrac{2-3x}{x(x-1)} > 0$ 使用符號運算軟體，回傳的正是 $(-\infty,0) \cup \left(\tfrac23,1\right)$ ✓，與手算的符號表一致。那個很誘人的錯誤答案 $(-\infty,0) \cup (\tfrac23,\infty)$ 忘了分式在越過 $x = 1$ 之後又變回負值。