把 (y − x)²(x + y)² − (x − y)²(x + y) 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先讓兩個二項式長得一樣。 第一項含 $(y-x)^{2}$，第二項含 $(x-y)^{2}$。因為 $y-x=-(x-y)$，而平方會把負號吃掉，

   $(y-x)^{2}=(-(x-y))^{2}=(x-y)^{2}.$

   把第一項改寫成 $(x-y)^{2}$，共同的結構才看得出來；少了這一步，公因式很容易整個被漏掉。

2. 2

   用統一後的形式重寫式子。 題目成為

   $(x-y)^{2}(x+y)^{2}-(x-y)^{2}(x+y).$

   現在兩項都明擺著含有 $(x-y)^{2}$ 以及至少一個 $(x+y)$。

3. 3

   找出最大公因式。 一個因式一個因式地比：$(x-y)$ 在兩項裡都是平方，$(x+y)$ 在第一項裡是二次方、在第二項裡只有一次方。最大公因式要取各自最低的次方：

   $\text{最大公因式}=(x-y)^{2}(x+y).$

4. 4

   把它提出來。 每一項除以最大公因式後，第一項剩下 $(x+y)$，第二項剩下 $1$：

   $(x-y)^{2}(x+y)^{2}-(x-y)^{2}(x+y)=(x-y)^{2}(x+y)\left[(x+y)-1\right].$

   那個 $1$ 是最常被漏掉的部分——第二項在提出公因式後並不會消失，而是變成 $1$。

5. 5

   寫出答案並用數值驗證。 完全因式分解的結果是

   $(x-y)^{2}(x+y)(x+y-1),$

   而這三個因式在有理數範圍內都不能再分解。取 $x=2.4$、$y=1.1$ 檢查：原式給出 $14.7875$，因式分解後的形式也給出 $14.7875$ ✓；另外再取一組隨機值，兩者同樣吻合到九位數。