把函數 |x| 乘 x 寫成分段函數。

Step-by-step solution

1. 1

   從絕對值的定義出發。 有些計算機上寫的 $\operatorname{Mod}(x)$ 就是 $|x|$，而它本身就是分情況定義的：

   $|x|=\begin{cases}x,&x\ge0\\-x,&x<0\end{cases}$

   分界點是 $x=0$，也就是內部唯一變號的地方。不分情況就寫不出單一的代數式 —— 這正是答案該寫成分段形式的原因。

2. 2

   把每一支都乘上 $x$。 在非負那一支上 $|x|=x$，乘積是 $x\cdot x$；在負的那一支上 $|x|=-x$，乘積是 $-x\cdot x$：

   $|x|\cdot x=\begin{cases}x^{2},&x\ge0\\-x^{2},&x<0\end{cases}$

3. 3

   檢查接合處是否連續。 從右邊逼近時趨於 $0^{2}=0$；從左邊逼近時趨於 $-0^{2}=0$。兩者都與 $x=0$ 處的函數值一致，所以函數連續 —— 兩個半支拋物線在原點平順地接上了。

4. 4

   取幾個值驗證。 取 $x=3$：$|3|\cdot3=9=3^{2}$ ✓。取 $x=-3$：$|-3|\cdot(-3)=3\cdot(-3)=-9=-(-3)^{2}$ ✓。在 $41$ 個精確有理點上直接求值，結果都與分段形式吻合 ✓。注意這個函數並不處處等於 $x^{2}$：當 $x$ 為負時它是負的。

5. 5

   看清這個函數的性格。 把 $x$ 換成 $-x$ 得到 $|-x|(-x)=-|x|x$，所以它是奇函數 —— 對原點對稱。它在整個 $\mathbb{R}$ 上還嚴格遞增（這一點與 $x^{2}$ 不同），因而可逆，反函數是 $y\mapsto\operatorname{sign}(y)\sqrt{|y|}$。它常被簡潔地寫成 $x|x|$ 或 $\operatorname{sign}(x)\,x^{2}$。