解複合不等式 8 < 60(1 + x)/7 < 9。

Step-by-step solution

1. 1

   先預測答案會落在哪裡。 當 $x=0$ 時中間的式子是 $\tfrac{60}{7}=8.571$，已經落在目標範圍 $(8,9)$ 之內。所以 $x=0$ 是一個解，這個區間必定橫跨 0——一個界限為負，另一個為正。

2. 2

   三個部分同乘 7。 乘數是正的，所以兩個方向都保持：

   $56<60(1+x)<63$

3. 3

   三個部分同除以 60，順手約分。

   $\frac{56}{60}<1+x<\frac{63}{60}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{14}{15}<1+x<\frac{21}{20}$

   （$56$ 與 $60$ 有公因數 $4$；$63$ 與 $60$ 有公因數 $3$。）

4. 4

   三個部分同減 1。

   $\frac{14}{15}-\frac{15}{15}<x<\frac{21}{20}-\frac{20}{20}$

   $-\frac{1}{15}<x<\frac{1}{20}$

   一個界限為負、一個為正，與預測完全相符——而且 $0$ 確實落在其中 ✓。

5. 5

   與同系列的題目對照。 把目標範圍往上平移一個單位，從 $(7,8)$ 變成 $(8,9)$，解就從全為負的 $\left(-\tfrac{11}{60},-\tfrac{1}{15}\right)$ 移到這個含 0 的區間。目標範圍每變動一個單位，對應到 $x$ 的寬度就是 $\tfrac{7}{60}$，因為 $\tfrac{60(1+x)}{7}$ 每變動一個單位，$x$ 就變動 $\tfrac{7}{60}$。

6. 6

   把兩個端點精確驗算。 取 $x=-\tfrac{1}{15}$：$1+x=\tfrac{14}{15}$，而 $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{14}{15}=8$ ✓。取 $x=\tfrac{1}{20}$：$1+x=\tfrac{21}{20}$，而 $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{21}{20}=\tfrac{63}{7}=9$ ✓。兩個都是嚴格不等號，所以區間的兩端都是開的。