設 f(x) 為三次多項式，(x + 1)f(x) 除以 x³ + 2 的餘式是 x + 2。若 f(0) = 4，求 f(2)。

Step-by-step solution

1. 1

   先寫下除法原理。 「除以 $x^3+2$ 的餘式是 $x+2$」表示存在一個多項式 $Q(x)$，使得

   $(x+1)f(x)=(x^3+2)Q(x)+x+2$

   這一個恆等式就是題目條件的全部內容，其餘一切都由它推出來。

2. 2

   定出 $Q$ 的次數。 因為 $f$ 是三次式，$(x+1)f(x)$ 是 $4$ 次。乘積 $(x^3+2)Q(x)$ 必須撐起這個 $4$ 次，所以 $\deg Q=1$。寫成

   $Q(x)=ax+b$

   這正是本題有解的原因：只剩兩個未知數。

3. 3

   利用左邊的因式 $x+1$。 左邊在 $x=-1$ 時為零，所以右邊也必須為零。把 $x=-1$ 代入 $(x^3+2)(ax+b)+x+2$：

   $(-1+2)(-a+b)+1=0\;\Longrightarrow\;b-a+1=0\;\Longrightarrow\;b=a-1$

4. 4

   利用 $f(0)=4$。 代入 $x=0$，左邊是 $(0+1)f(0)=4$，右邊是 $(0+2)(b)+0+2=2b+2$，所以

   $2b+2=4\;\Longrightarrow\;b=1\;\Longrightarrow\;a=2$

   於是 $Q(x)=2x+1$。

5. 5

   代入 $x=2$ 求值。 既然 $Q$ 已知，

   $(2+1)f(2)=(2^3+2)(2\cdot 2+1)+2+2=10\cdot 5+4=54$

   所以 $3f(2)=54$，得 $f(2)=18$。

6. 6

   把 $f$ 明確還原出來檢查。 展開得 $(x+1)f(x)=2x^4+x^3+5x+4$。再除以 $x+1$：

   $f(x)=2x^3-x^2+x+4$

   確實 $f(0)=4$ 且 $f(2)=16-4+2+4=18$，而且 $2x^4+x^3+5x+4-(x^3+2)(2x+1)=x+2$ 剛好相等。