若 x = (√3 + 1)/(√3 - 1)、y = (√3 - 1)/(√3 + 1)，求 x + y、xy、x^2 + y^2、x^3 + y^3 與 4x^2 + 7xy + 4y^2。

Step-by-step solution

1. 1

   先把兩個分母都有理化——根號一離開分母，後面每一步都變得很輕鬆。 分子分母同乘分母的共軛根式：

   $x=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\cdot\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1}=\frac{(\sqrt3+1)^2}{3-1}=\frac{4+2\sqrt3}{2}=2+\sqrt3$

   $y=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\cdot\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3-1}=\frac{(\sqrt3-1)^2}{3-1}=\frac{4-2\sqrt3}{2}=2-\sqrt3$

   注意 $x$ 與 $y$ 剛好互為共軛，而且 $y=1/x$：這兩個分數從一開始就互為倒數。

2. 2

   算出兩個基本對稱式。 剩下所有式子都能由這兩個組出來，所以它們是本題唯一真正需要計算的東西：

   $x+y=(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$

   $xy=(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1$

   兩式的根號都消掉了——這正是我們寧可處理 $x+y$ 與 $xy$、而不去分別處理 $x$ 與 $y$ 的全部理由。

3. 3

   由和的平方求 $x^2+y^2$。 展開 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ 再移項，

   $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=4^2-2(1)=14.$

4. 4

   由和的立方求 $x^3+y^3$。 因為 $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$，

   $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=4^3-3(1)(4)=64-12=52.$

   （用因式分解 $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=4(14-1)=52$ 也得到同一個值，是很好的交叉驗算。）

5. 5

   把最後那個式子重新分組，只用已知量表示。

   $4x^2+7xy+4y^2=4(x^2+y^2)+7xy=4(14)+7(1)=56+7=63.$

   訣竅是把中間的係數拆開：寫成 $7xy=8xy-xy$ 也行，但直接提出 $4(x^2+y^2)$ 更快。

6. 6

   用數值檢查。 $x=2+\sqrt3\approx3.7320508$、$y=2-\sqrt3\approx0.2679492$。則 $x+y\approx4.000000$、$xy\approx1.000000$、$x^3+y^3\approx51.999999$、$4x^2+7xy+4y^2\approx63.000000$，與精確值相符。