解不等式 6p⁵ − 15p⁴ + 10p³ < p。

Step-by-step solution

1. 1

   把所有項移到同一邊，再提出 $p$。

   $6p^5-15p^4+10p^3-p<0\quad\Rightarrow\quad p\left(6p^4-15p^3+10p^2-1\right)<0$

   化成單一式子與零比較，才有辦法畫符號表。

2. 2

   找出四次式的有理根。 用有理根定理逐一測試候選值：$p=1$ 得 $6-15+10-1=0$，$p=\tfrac12$ 得 $\tfrac38-\tfrac{15}8+\tfrac52-1=0$。所以 $(p-1)$ 與 $(2p-1)$ 都是因式。把它們除掉之後，

   $6p^4-15p^3+10p^2-1=(p-1)(2p-1)\left(3p^2-3p-1\right)$

   （最高次係數 $1\cdot 2\cdot 3=6$ ✓，常數項 $(-1)(-1)(-1)=-1$ ✓。）

3. 3

   完成因式分解並列出臨界點。

   $p(p-1)(2p-1)\left(3p^2-3p-1\right)<0$

   最後一個因式的根是 $p=\frac{3\pm\sqrt{21}}{6}$，也就是 $-0.26376$ 與 $1.26376$。由小到大排好，五個單根依序是

   $-0.26376,\quad 0,\quad 0.5,\quad 1,\quad 1.26376$

4. 4

   每個區間取一點，建出符號表。 把值代進原始不等式，算 $\text{左式}-\text{右式}$：

   $p=-1:\ -30\ (<0)\quad p=-0.2:\ +0.094\quad p=0.25:\ -0.1465\ (<0)$
   $p=0.75:\ +0.1465\quad p=1.1:\ -0.0884\ (<0)\quad p=2:\ +30$

   五個根都是單根，所以符號會交替出現——而最高次係數 $6>0$、次數 $5$ 是奇數，使得式子在很右邊必為正，整個符號樣式就被釘死了。

5. 5

   讀出解集。 這個式子在三個區間上為負：

   $p<\frac{3-\sqrt{21}}{6},\qquad 0<p<\frac12,\qquad 1<p<\frac{3+\sqrt{21}}{6}$

   要小心：符號表若從錯的一端起算，得到的會剛好是這個集合的補集——這種錯很容易犯，也很容易抓，因為 $p=2$ 必須不成立（$192-240+80=32$，而 $32<2$ 為假），$p=0.25$ 則必須成立（$0.1035<0.25$ ✓）。

6. 6

   確認端點都被排除。 在這五個臨界點上兩邊剛好相等，而不等式是嚴格的，所以 $\frac{3-\sqrt{21}}{6}$、$0$、$\frac12$、$1$、$\frac{3+\sqrt{21}}{6}$ 都不屬於解集。