化簡 (x + 1)³ − 2(x + 1)²(x − 1) − (x + 1)(x − 1)² + 2(x − 1)³。

Step-by-step solution

1. 1

   注意這一次沒有共同因式可以走捷徑。 與最後一項是 $2(x+1)^3$ 的那個變形題不同，這裡最後一項是 $2(x-1)^3$，所以 $(x+1)$ 並不是每一項的因式。可靠的做法是把四個乘積全部展開再合併。

2. 2

   逐項展開。

   $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$

   $-2(x+1)^2(x-1)=-2\left(x^2+2x+1\right)(x-1)=-2\left(x^3+x^2-x-1\right)=-2x^3-2x^2+2x+2$

   $-(x+1)(x-1)^2=-\left(x^2-1\right)(x-1)=-\left(x^3-x^2-x+1\right)=-x^3+x^2+x-1$

   $2(x-1)^3=2\left(x^3-3x^2+3x-1\right)=2x^3-6x^2+6x-2$

3. 3

   把三次項的係數加起來。

   $1-2-1+2=0$

   所以 $x^3$ 項全部消失，結果最多是二次式——與姊妹題一樣的結構性驚喜，只是走到這裡的路不同。

4. 4

   把其餘係數加起來。 $x^2$ 項：$3-2+1-6=-4$。$x$ 項：$3+2+1+6=12$。常數項：$1+2-1-2=0$。因此

   $-4x^2+12x$

5. 5

   因式分解並驗算。

   $-4x^2+12x=4x(3-x)=-4x(x-3)$

   取 $x=1$：原式為 $8-2(4)(0)-2(0)+0=8$，而 $4(1)(2)=8\;\checkmark$。取 $x=3$：原式為 $64-2(16)(2)-4(4)+2(8)=64-64-16+16=0$，而 $4(3)(0)=0\;\checkmark$ —— 因式形式正確預測了 $x=0$ 與 $x=3$ 這兩個根。