解 4x² + 16x + 7 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先算判別式。 取 $a=4$、$b=16$、$c=7$：

   $b^{2}-4ac=16^{2}-4(4)(7)=256-112=144$

   判別式是正的完全平方數，代表有兩個相異的有理根 —— 所以公式解和因式分解都行得通，而公式解是比較機械化的路。

2. 2

   代入公式解。

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-16\pm\sqrt{144}}{8}=\frac{-16\pm 12}{8}$

3. 3

   把兩支各自算出來。

   $x=\frac{-16+12}{8}=\frac{-4}{8}=-\frac12,\qquad x=\frac{-16-12}{8}=\frac{-28}{8}=-\frac72$

   $\boxed{x=-\tfrac12\ \text{或}\ x=-\tfrac72}$

4. 4

   用因式分解交叉驗證。 因為判別式是完全平方數，這個二次式在有理數範圍內分解得開：

   $4x^{2}+16x+7=(2x+1)(2x+7)$

   乘開來看：$4x^{2}+14x+2x+7=4x^{2}+16x+7$ ✓，而讓每個括號等於零得到的正是同樣的兩個根。

5. 5

   用根與係數關係檢驗。 兩根之和必須是 $-b/a=-4$、之積必須是 $c/a=\tfrac74$：$-\tfrac12-\tfrac72=-4$ ✓，而且 $\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac72\right)=\tfrac74$ ✓。兩個根都是負的也在預期之內，因為 $b$ 與 $c$ 都是正的、而且 $a>0$。