求直線 y = −4x + 2.5 與曲線 y = 2.44x/(1 + 1.44x) 的交點。

Step-by-step solution

1. 1

   把兩個 y 的表示式劃上等號。 在交點處兩個式子回傳相同的 $y$，所以 $-4x+2.5 = \frac{2.44x}{1+1.44x}.$ 注意極點落在 $1+1.44x=0$，即 $x=-\tfrac{1}{1.44}=-0.6944\ldots$，答案中必須把它排除。

2. 2

   去分母。 兩邊同乘 $1+1.44x$（在遠離極點處是合法的）得 $(-4x+2.5)(1+1.44x) = 2.44x$。把左邊展開：$-4x-5.76x^2+2.5+3.6x = -5.76x^2-0.4x+2.5$。

3. 3

   整理成標準二次式。 把 $2.44x$ 移過來得 $-5.76x^2-2.84x+2.5=0$；再乘以 $-1$、乘以 $100$，然後取一半，得到整數係數的形式 $288x^2+142x-125=0.$ 整數係數讓判別式是精確值。

4. 4

   解這個二次方程式。 $\Delta = 142^2+4(288)(125) = 20164+144000 = 164164 = 4\cdot 41041$，所以 $x = \frac{-142 \pm 2\sqrt{41041}}{576} = \frac{-71 \pm \sqrt{41041}}{288}.$ 由 $\sqrt{41041}\approx 202.58578$ 得 $x_1 \approx 0.456895$、$x_2 \approx -0.949951$。兩者都不等於 $-0.6944$，因此都通過極點檢查。

5. 5

   用直線求出 y 值。 代直線比較省事：$y_1 = -4(0.456895)+2.5 \approx 0.672420$、$y_2 = -4(-0.949951)+2.5 \approx 6.299803$。

6. 6

   要在曲線上驗算，不能只驗直線。 $\dfrac{2.44(0.456895)}{1+1.44(0.456895)} \approx 0.672420$、$\dfrac{2.44(-0.949951)}{1+1.44(-0.949951)} \approx 6.299803$ —— 兩者都吻合，所以這兩個點確實同時落在兩條圖形上。第二個點位於雙曲線越過鉛直漸近線之後的另一支上。