解方程式 |(2x − 3)/7| = (1/2)·|(x + 3)/4|。

Step-by-step solution

1. 1

   把正的常數移到絕對值符號外面。 因為當 $c > 0$ 時 $|A/c| = |A|/c$，

   $\frac{|2x-3|}{7} = \frac12\cdot\frac{|x+3|}{4} = \frac{|x+3|}{8}$

   分母 $7$、$4$ 以及係數 $\tfrac12$ 全都是正的，所以不必為它們處理正負號。

2. 2

   把分母清掉。 兩邊同乘 $56$（$7$ 與 $8$ 的最小公倍數）：

   $8|2x-3| = 7|x+3|$

   現在式子裡沒有分數了，兩個絕對值外面只剩下整數。

3. 3

   安心地兩邊平方。 兩邊都非負，所以平方在這裡是可逆的一步，不會因此產生增根：

   $64(2x-3)^2 = 49(x+3)^2$

4. 4

   展開並整理成二次方程式。

   $64\left(4x^2-12x+9\right) = 49\left(x^2+6x+9\right)$

   $256x^2 - 768x + 576 = 49x^2 + 294x + 441$

   $207x^2 - 1062x + 135 = 0 \quad \xrightarrow{\ \div 9\ } \quad 23x^2 - 118x + 15 = 0$

5. 5

   解這個二次方程式。 取 $a = 23$、$b = -118$、$c = 15$：

   $\Delta = 118^2 - 4(23)(15) = 13924 - 1380 = 12544 = 112^2$

   $x = \frac{118 \pm 112}{46} \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{230}{46} = 5 \quad \text{或} \quad x = \frac{6}{46} = \frac{3}{23}$

   判別式是完全平方數，正說明這題本來就設計成答案是有理數。

6. 6

   把兩個根代回原方程式檢驗。 當 $x = 5$：$\left|\tfrac{7}{7}\right| = 1$，而 $\tfrac12\left|\tfrac{8}{4}\right| = 1$。當 $x = \tfrac{3}{23}$：$\left|\tfrac{-63/23}{7}\right| = \tfrac{9}{23}$，而 $\tfrac12\left|\tfrac{72/23}{4}\right| = \tfrac{9}{23}$。兩個都完全吻合，所以解集是 $\left\{5,\ \tfrac{3}{23}\right\}$。