已知 f(x) = 2 − x² 與 g(x) = x² + 4x − 60，求 (f + g)(x) 並判定它的定義域。

Step-by-step solution

1. 1

   套用函數和的逐點定義。 對每個輸入 $x$，

   $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\left(2-x^{2}\right)+\left(x^{2}+4x-60\right).$

   兩個括號都是相加的，所以拿掉括號時沒有任何正負號會改變。

2. 2

   按次數把各項分類。

   $\underbrace{\left(-x^{2}+x^{2}\right)}_{\text{二次項}}+\underbrace{4x}_{\text{一次項}}+\underbrace{\left(2-60\right)}_{\text{常數項}}.$

3. 3

   逐組合併，並注意那個抵銷。 兩個二次項剛好互為相反數：

   $-x^{2}+x^{2}=0,\qquad 2-60=-58,$

   所以

   $(f+g)(x)=4x-58.$

   兩個二次式相加通常仍是二次的；這裡首項係數剛好是 $-1$ 與 $+1$，這就是次數會下降的原因。

4. 4

   定義域要從原本的函數讀出，而不是從化簡後的答案。 和函數在兩個部分都有定義的地方才有定義。$f$ 與 $g$ 都是多項式，在整個 $\mathbb{R}$ 上都有定義，所以

   $\text{定義域}(f+g)=(-\infty,\infty).$

5. 5

   代一個值檢查。 在 $x=10$：$f(10)=2-100=-98$ 而 $g(10)=100+40-60=80$，所以 $f(10)+g(10)=-18$；而 $4(10)-58=-18$。兩個式子吻合。