將 x² + x − 12 完全因式分解。

Step-by-step solution

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   設定要找的兩個數。 對首一二次式 $x^{2}+bx+c$ 來說，分解結果是 $(x+m)(x+n)$，其中 $mn=c$、$m+n=b$。這裡 $c=-12$、$b=+1$（單獨的 $x$ 係數是 $1$），所以要找兩個數，乘積是 $-12$、和是 $1$。

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   讓正負號把搜尋範圍砍一半。 乘積 $-12$ 是負的，所以兩個數必然異號。和 $+1$ 是個小的正數，所以正的那個絕對值比較大——而且剛好大 $1$。

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   列出 $-12$ 的異號因數對與它們的和。

   $(1,-12)\to-11,\quad(12,-1)\to11,\quad(2,-6)\to-4,\quad(6,-2)\to4,\quad(3,-4)\to-1,\quad(4,-3)\to1\ \checkmark$

   只有 $4$ 與 $-3$ 給出需要的和，而且 $4\times(-3)=-12$ ✓。

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   寫出因式分解。

   $x^{2}+x-12=(x+4)(x-3)$

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   展開檢查——挑錯數對就會在這裡現形。 $(x+4)(x-3)=x^{2}-3x+4x-12=x^{2}+x-12$ ✓。一次項係數是那兩個數的和，常數項是它們的積，所以只要常數項沒有完全還原，就代表數對挑錯了。這個恆等式在 $-40$ 到 $39$ 的每個整數上都驗證過 ✓。

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   讀出根。 這個式子在 $x=-4$ 與 $x=3$ 時為零，所以它們就是 $x^{2}+x-12=0$ 的解。判別式 $1^{2}-4(1)(-12)=49=7^{2}$ 是完全平方——這正是「一開始就一定找得到整數因式」的保證。