相加並化簡：(x + 5)/(2x − 2) + 3x/(x² + x − 2)。

Step-by-step solution

1. 1

   選公分母之前，先把兩個分母都因式分解。 直接把兩個分母乘起來當然行得通，但會得到一個沒必要那麼大的式子，之後還得再約分。因式分解則會露出共同的那一塊：

   $2x-2=2(x-1),\qquad x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)$

2. 2

   組出最簡公分母。 把兩個分母中出現的每個相異因式各取最高次方 —— 常數 $2$、兩者共有的因式 $(x-1)$，以及因式 $(x+2)$：

   $\text{最簡公分母}=2(x-1)(x+2)$

3. 3

   把每個分數都改寫到最簡公分母上。 第一個要再乘一個 $(x+2)$；第二個要再乘一個 $2$：

   $\frac{(x+5)(x+2)}{2(x-1)(x+2)}+\frac{2\cdot 3x}{2(x-1)(x+2)}$

4. 4

   把分子相加並整理。

   $(x+5)(x+2)=x^{2}+7x+10$

   $x^{2}+7x+10+6x=x^{2}+13x+10$

   所以總和是

   $\frac{x^{2}+13x+10}{2(x-1)(x+2)}$

5. 5

   檢查結果還能不能約分。 要能約掉，$x-1$ 或 $x+2$ 就得整除 $x^2+13x+10$。在 $x=1$ 分子是 $24\neq 0$；在 $x=-2$ 是 $4-26+10=-12\neq 0$。兩個都不是因式，所以這個式子已經是最簡形式。

   $\boxed{\dfrac{x^{2}+13x+10}{2(x-1)(x+2)}}\qquad (x\neq 1,\ x\neq -2)$

6. 6

   代一個值驗證。 在 $x=3$：原式是 $\tfrac{8}{4}+\tfrac{9}{10}=2+0.9=2.9$，而答案給出 $\tfrac{9+39+10}{2(2)(5)}=\tfrac{58}{20}=2.9$。兩者吻合。