把 y′ 當成變數，分解 (y′)² − 4x²y′ + 4x⁴ − x²。

Step-by-step solution

1. 1

   把微分記號當成變數看。 按 $y^{\prime}$ 的降冪寫出來，它就是普通的二次式：

   $\left(y^{\prime}\right)^2-\left(4x^2\right)y^{\prime}+\left(4x^4-x^2\right)$

   認清哪個符號扮演未知數，是這題第一個真正的決定；$x$ 的各次方只是係數。

2. 2

   看出前三項藏著的完全平方。 $\left(y^{\prime}\right)^2$、$-4x^2y^{\prime}$、$4x^4$ 三塊符合 $a^2-2ab+b^2$，其中 $a=y^{\prime}$、$b=2x^2$：

   $\left(y^{\prime}\right)^2-4x^2y^{\prime}+4x^4=\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2$

   常數項 $4x^4-x^2$ 被刻意拆成 $4x^4$ 加上剩下的 $-x^2$，就是為了讓這個分組成立。

3. 3

   把整個式子改寫成兩個平方的差。

   $\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2-x^2=\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2-(x)^2$

4. 4

   套用 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$。 其中 $A=y^{\prime}-2x^2$、$B=x$：

   $\left(y^{\prime}-2x^2-x\right)\left(y^{\prime}-2x^2+x\right)$

5. 5

   展開回去驗算。 兩個因式的乘積是 $\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2-x^2$，展開後正是 $\left(y^{\prime}\right)^2-4x^2y^{\prime}+4x^4-x^2\;\checkmark$。代 $y^{\prime}=5$、$x=1$ 抽查：原式是 $25-20+4-1=8$，兩個因式相乘得 $(5-2-1)(5-2+1)=2\cdot 4=8\;\checkmark$。