圖形顯示聯立 y = 2/(x − 2) − 1 與 y = 2|x − 2| − 4。完整解是哪一組點：(4,0)；(0,0) 與 (4,0)；(0,0)、(0,−2) 與 (4,0)；還是 (0,−2) 與 (4,0)？

Step-by-step solution

1. 1

   用 u = x − 2 做變數代換，利用兩者共同的平移。 兩條曲線都是繞著 $x=2$ 建立的，代換之後兩邊都不再有它：

   $\frac{2}{u}-1=2|u|-4\quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{u}+3=2|u|,\qquad u\neq 0.$

   限制 $u\neq 0$（也就是 $x\neq 2$）來自第一條曲線的鉛直漸近線。

2. 2

   依 u 的正負分情形 —— 先看 u > 0。 此時 $|u|=u$，兩邊同乘 $u>0$ 不會改變方程式：

   $2+3u=2u^{2}\ \Longrightarrow\ 2u^{2}-3u-2=0\ \Longrightarrow\ (2u+1)(u-2)=0.$

   兩根是 $u=2$ 與 $u=-\tfrac12$；只有 $u=2$ 滿足 $u>0$，對應 $x=4$。

3. 3

   再看 u < 0 的情形。 此時 $|u|=-u$，而在等式裡乘上負的 $u$ 不會翻轉任何東西：

   $2+3u=-2u^{2}\ \Longrightarrow\ 2u^{2}+3u+2=0.$

   它的判別式是 $9-16=-7<0$，沒有實根，這種情形不貢獻任何解。

4. 4

   求出留下來那個解的 y 值。 取 $x=4$：

   $y=\frac{2}{4-2}-1=1-1=0,\qquad y=2|4-2|-4=4-4=0.$

   兩條曲線都給出 $y=0$，所以 $(4,0)$ 確實同時落在兩條曲線上。

5. 5

   測試那些誘答的點。 取 $x=0$：第一條曲線給出 $y=\tfrac{2}{-2}-1=-2$，第二條給出 $y=2(2)-4=0$。所以 $(0,0)$ 只落在絕對值圖形上，$(0,-2)$ 只落在分式圖形上 —— 兩者都不是這個聯立的解。這正是陷阱所在：只落在一條曲線上的點，除非同時也在另一條上，否則不算解。

6. 6

   寫出完整解。 這個聯立恰有一個解，$(4,0)$。