解聯立方程式：(1/3)x − (1/3)y = −1；−(1/3)x + y − (1/2)z = −w；(5/6)z − (1/2)y = w；x = 30 + z。

Step-by-step solution

1. 1

   先從最簡單的那一式去分母。 把 $\tfrac13x-\tfrac13y=-1$ 兩邊乘以 $3$ 得

   $x-y=-3\;\Longrightarrow\;x=y-3.$

   從未知數最少的式子開始，可以讓後續的代換保持簡短。

2. 2

   串起 $x$ 的兩個表示式。 第四式說 $x=30+z$，所以

   $30+z=y-3\;\Longrightarrow\;y=33+z.$

   現在除了 $w$ 之外，每個未知數都能用 $z$ 表示。

3. 3

   讓第二式與第三式相等以消去 $w$。 第二式乘以 $-1$ 得 $\tfrac13x-y+\tfrac12z=w$，第三式給出 $\tfrac56z-\tfrac12y=w$。兩者設為相等，並代入 $x=30+z$：

   $10+\frac13z-y+\frac12z=\frac56z-\frac12y.$

   由於 $\tfrac13+\tfrac12=\tfrac56$，兩邊的 $z$ 項一模一樣而完全抵消 —— 正是這一步讓整個聯立一行就能解出來。

4. 4

   解出剩下那一式裡的 $y$。

   $10-y=-\frac12y\;\Longrightarrow\;20-2y=-y\;\Longrightarrow\;y=20.$

   再由 $y=33+z$ 得 $z=20-33=-13$，由 $x=30+z$ 得 $x=17$。

5. 5

   求出 $w$ 並驗證四個式子。 由第三式，

   $w=\frac56(-13)-\frac12(20)=-\frac{65}{6}-10=-\frac{125}{6}.$

   用精確分數檢查：$\tfrac13(17)-\tfrac13(20)=-1$ ✓；$-\tfrac13(17)+20-\tfrac12(-13)=\tfrac{125}{6}=-w$ ✓；$\tfrac56(-13)-\tfrac12(20)=-\tfrac{125}{6}=w$ ✓；$30+(-13)=17=x$ ✓。