用公式解求 4x² + 20x + 21 = 0 的兩個解。

Step-by-step solution

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   把方程式對照到標準式。 拿 $4x^{2}+20x+21=0$ 和 $ax^{2}+bx+c=0$ 比對，得到 $a=4$、$b=20$、$c=21$。首項係數不是 $1$，用觀察法分解並不順手，直接用公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ 反而最直接。

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   先算判別式。 $b^{2}-4ac=20^{2}-4(4)(21)=400-336=64 .$ 它是正的，所以有兩個相異實根；而且它是完全平方數，所以兩根都會是有理數。

3. 3

   代進公式。 因為 $\sqrt{64}=8$、$2a=8$， $x=\frac{-20\pm 8}{8}.$

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   把正負號拆成兩個根。 取正號，$x=\frac{-20+8}{8}=\frac{-12}{8}=-\frac32$。取負號，$x=\frac{-20-8}{8}=\frac{-28}{8}=-\frac72$。

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   兩個根都代入檢驗。 取 $x=-\frac32$：$4\cdot\frac94-30+21=9-30+21=0$。取 $x=-\frac72$：$4\cdot\frac{49}{4}-70+21=49-70+21=0$。兩者都剛好為零，而且兩根之和 $-5$ 與 $-b/a=-20/4$ 吻合，兩根之積 $\frac{21}{4}$ 也與 $c/a$ 吻合。