解不等式 3ˣ > 500001x。

Step-by-step solution

1. 1

   把它改成單一函數的正負號問題。 定義

   $f(x)=3^x-500001x$

   然後找出 $f(x)>0$ 的地方。這比用眼睛比對兩張圖好，因為 $f$ 的結構是我們能精確掌握的。

2. 2

   證明 $f$ 是凸的，所以最多只有兩個根。

   $f'(x)=3^x\ln 3-500001,\qquad f''(x)=3^x(\ln 3)^2>0$

   嚴格凸的函數會先遞減再遞增，最多穿過零兩次。最小值出現在 $f'=0$ 之處：

   $3^x=\frac{500001}{\ln 3}\approx 455121\quad\Longrightarrow\quad x=\log_3(455121)\approx 11.86$

3. 3

   左半邊不花力氣就能處理掉。 當 $x\le 0$ 時左邊的 $3^x$ 是正的，而 $500001x\le 0$，所以不等式自動成立。在 $x=0$ 時它讀作 $1>0$ $\checkmark$。因此第一個根必定就在 $0$ 稍微右邊一點的地方。

4. 4

   定位那個很小的根。 在 $0$ 附近 $3^x\approx 1$，所以交點靠近 $x\approx\tfrac{1}{500001}$。在 $\left[10^{-12},0.5\right]$ 上對 $f$ 做二分法得到

   $x_1\approx 2.0000004\times 10^{-6}$

   而 $f$ 在它左側為正、右側為負。

5. 5

   用夾擠的方式定位那個大的根。 $f(12)=531441-6000012<0$ 而 $f(16)=43046721-8000016>0$，所以第二個交點落在 $(12,16)$ 裡。二分法給出

   $x_2\approx 14.3704368$

   驗算：$3^{14.3704368}\approx 7.1853\times 10^{6}$、$500001\times 14.3704368\approx 7.1853\times 10^{6}$，吻合到六位有效數字 $\checkmark$。（像 $14.546$ 這樣的值不是根：在那裡 $3^x\approx 8.714\times 10^6$ 對上 $7.273\times 10^6$，差距約 $1.44\times 10^6$。）

6. 6

   把解集合組起來。 $f>0$ 出現在兩根之外：

   $x<2.0000004\times 10^{-6}\quad\text{或}\quad x>14.3704368$

   中間也抽查一下：在 $x=1$ 時 $3<500001$，所以不等式確實不成立 $\checkmark$。