對一般的正整數 n，將 x^n − y^n 因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先說明 $(x-y)$ 一定是因式。 把式子看成 $x$ 的多項式，代入 $x=y$：

   $y^{n}-y^{n}=0$

   由因式定理，這對每一個 $n$ 都成立，所以 $(x-y)$ 恆整除 $x^{n}-y^{n}$——沒有奇偶條件，不像和 $x^{n}+y^{n}$ 還要求 $n$ 是奇數。

2. 2

   寫出恆等式。

   $x^{n}-y^{n}=(x-y)\left(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1}\right)=(x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^{k}$

   另一個因式恰好有 $n$ 項，每一項的總次數都是 $n-1$，而且所有符號都是正號。

3. 3

   用望遠鏡相消來證明。 把 $(x-y)$ 的兩項分配到和式上：

   $x\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^{k}=x^{n}+x^{n-1}y+\cdots+xy^{n-1}$

   $y\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^{k}=x^{n-1}y+x^{n-2}y^{2}+\cdots+y^{n}$

   相減之後，除了上面那列的第一項與下面那列的最後一項之外全部相消，恰好剩下 $x^{n}-y^{n}$ ✓。

4. 4

   檢查幾個小的情形。

   $n=2:\ x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$

   $n=3:\ x^{3}-y^{3}=(x-y)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)$

   這就是熟悉的平方差與立方差——兩者都是同一個恆等式的特例。數值上，這個一般公式對 $1$ 到 $8$ 的每一個 $n$，各在 $121$ 組整數對上驗證過 ✓。

5. 5

   注意什麼時候還能再分解。 如果 $n$ 是合數，例如 $n=pq$，那式子也等於 $\left(x^{p}\right)^{q}-\left(y^{p}\right)^{q}$，可以再拆一次——$x^{6}-y^{6}$ 之所以多出 $(x+y)$ 與 $x^{2}\pm xy+y^{2}$ 這些因式就是這個道理。數論上一個好用的推論：對整數而言 $x-y$ 恆整除 $x^{n}-y^{n}$，所以像 $10^{n}-1$ 就一定能被 $9$ 整除。