解方程式 −0.0164x² + 0.3655x + 25.151 = 0，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   先注意二次項係數有多小。 取 $a=-0.0164$、$b=0.3655$、$c=25.151$，二次項只有在 $x$ 達到幾十的量級時才與常數項相當：

   $|a|x^2\approx 25\ \Longrightarrow\ x\approx\sqrt{\tfrac{25}{0.0164}}\approx 39$

   所以兩根的絕對值應當很大——這是動手計算之前就該有的一個預期。

2. 2

   算判別式。

   $\Delta=0.3655^2-4(-0.0164)(25.151)=0.133590+1.649906=1.783496$

   $\sqrt{\Delta}=1.335476$

   比較少見的是，這裡 $b^2$ 與 $-4ac$ 大小相當，原因是 $a$ 與 $b$ 都很小。

3. 3

   套公式解。

   $x=\frac{-0.3655\pm 1.335476}{2(-0.0164)}=\frac{-0.3655\pm 1.335476}{-0.0328}$

   正是「除以極小的 $-0.0328$」這一步，把一個不大的分子放大成了很大的根。

4. 4

   算出兩個根。

   $x_1=\frac{-0.3655+1.335476}{-0.0328}=-29.5724,\qquad x_2=\frac{-0.3655-1.335476}{-0.0328}=51.8590$

   頂點在 $x=-\tfrac{b}{2a}=\tfrac{0.3655}{0.0328}=11.143$，正好落在兩根的正中間，對應的最大值為 $y\approx 27.19$。

5. 5

   用根與係數關係核對。 兩根之和應為 $-\tfrac{b}{a}=\tfrac{0.3655}{0.0164}=22.2866$，而 $-29.5724+51.8590=22.2866\;\checkmark$。兩根之積應為 $\tfrac{c}{a}=\tfrac{25.151}{-0.0164}=-1533.60$，而 $(-29.5724)(51.8590)=-1533.60\;\checkmark$。這兩項核對在本題裡格外有價值，因為除以一個很小的數會把分子上的任何捨入誤差成倍放大。