分解輪換式 (b − c)(b + c)⁴ + (c − a)(c + a)⁴ + (a − b)(a + b)⁴。

Step-by-step solution

1. 1

   展開之前先用「代入為零」找因式。 令 $a=b$。第三項因為含有因式 $(a-b)$ 而為零，前兩項則變成

   $(b-c)(b+c)^4+(c-b)(c+b)^4=0$

   所以只要 $a=b$ 整個式子就為零，這表示 $(a-b)$ 是因式。由輪換對稱性，$b=c$ 與 $c=a$ 也一樣，所以乘積 $(a-b)(b-c)(c-a)$ 整除原式。

2. 2

   數次數，預測剩下的因式長什麼樣。 每一項都是 $5$ 次，而 $(a-b)(b-c)(c-a)$ 是 $3$ 次，所以剩下的因式是一個 $2$ 次的齊次對稱多項式：

   $Q=\alpha\left(a^2+b^2+c^2\right)+\beta(ab+bc+ca)$

   只剩兩個未知數，所以代兩組數字就能把整個分解定下來。

3. 3

   代入數字求 $\alpha$ 與 $\beta$。 取 $(a,b,c)=(-7,-3,0)$，原式等於 $-23436$，而 $(a-b)(b-c)(c-a)=(-4)(-3)(7)=84$，所以 $Q=-279$；此時 $a^2+b^2+c^2=58$、$ab+bc+ca=21$：

   $58\alpha+21\beta=-279$

   取 $(a,b,c)=(-1,-7,2)$ 同樣算一次，得到 $54\alpha-9\beta=-117$。解這組聯立方程式得到

   $\alpha=-3,\qquad \beta=-5$

4. 4

   寫出分解式。 把負號提到最前面：

   $(b-c)(b+c)^4+(c-a)(c+a)^4+(a-b)(a+b)^4=-(a-b)(b-c)(c-a)\Big[3\left(a^2+b^2+c^2\right)+5(ab+bc+ca)\Big]$

5. 5

   對照展開式驗證。 用 $(x-y)(x+y)^4=x^5+3x^4y+2x^3y^2-2x^2y^3-3xy^4-y^5$ 逐項展開並輪換相加，得到

   $3\left(a^4b+b^4c+c^4a\right)+2\left(a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\right)-2\left(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\right)-3\left(ab^4+bc^4+ca^4\right)$

   五次方項全部抵消。在 $500$ 組隨機有理數三元組上比對分解式與這個展開式，沒有任何不符 $\checkmark$；再取 $(a,b,c)=(-5,-2,-8)$ 檢查，兩邊都得 $-32886$。