解聯立方程式：X × 5.20 + Y × 5.75 = 8947.2 與 X + Y = 1595。

Step-by-step solution

1. 1

   把聯立方程式寫成矩陣形式。

   $\begin{pmatrix}5.20 & 5.75\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X\\ Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8947.2\\ 1595\end{pmatrix}$

   克拉瑪公式把每個未知數寫成兩個行列式的比值；對 $2\times 2$ 的系統特別方便，因為每個行列式就是一次交叉相乘。

2. 2

   算出係數行列式。

   $D=\begin{vmatrix}5.20 & 5.75\\ 1 & 1\end{vmatrix}=5.20(1)-5.75(1)=-0.55$

   它不為零，所以恰有一組解。注意 $|D|$ 又是那個單價差。

3. 3

   算出兩個分子行列式。 分別把 $X$ 那一行、$Y$ 那一行換成等號右邊的常數：

   $D_X=\begin{vmatrix}8947.2 & 5.75\\ 1595 & 1\end{vmatrix}=8947.2-5.75(1595)=8947.2-9171.25=-224.05$

   $D_Y=\begin{vmatrix}5.20 & 8947.2\\ 1 & 1595\end{vmatrix}=5.20(1595)-8947.2=8294-8947.2=-653.2$

4. 4

   相除得到兩個未知數。

   $X=\frac{D_X}{D}=\frac{-224.05}{-0.55}=\frac{4481}{11}\approx 407.36,\qquad Y=\frac{D_Y}{D}=\frac{-653.2}{-0.55}=\frac{13064}{11}\approx 1187.64$

   兩個都是循環小數，所以分數形式才是精確答案。

5. 5

   代回原式驗證。 總數：$\tfrac{4481+13064}{11}=\tfrac{17545}{11}=1595\;\checkmark$。金額那一式同乘 $\times 100$ 去掉小數：$\tfrac{520\cdot 4481+575\cdot 13064}{11}=\tfrac{2330120+7511800}{11}=\tfrac{9841920}{11}=894720$，正是 $8947.2\times 100\;\checkmark$。