化簡 192π² ÷ (128π + 32π²)。

Step-by-step solution

1. 1

   不要逐項相消。 分母若是一個和，必須先因式分解才能約分；拿 $32\pi^{2}$ 去和分子的一部分相消是不合法的。所以第一件事是找出分母兩項的最大公因式。

2. 2

   分解分母。 $128=32\cdot 4$，而 $32\pi^{2}=32\pi\cdot\pi$，兩項都含有 $32\pi$： $128\pi+32\pi^{2}=32\pi\left(4+\pi\right).$

3. 3

   把分子也寫成含同一因式的樣子。 $192=32\cdot 6$，因此 $192\pi^{2}=32\pi\cdot 6\pi.$ 這樣寫可以讓共同因式明擺著，而不是藏在裡面。

4. 4

   約掉公因式。 $\frac{32\pi\cdot 6\pi}{32\pi\left(4+\pi\right)}=\frac{6\pi}{4+\pi},$ 因為 $\pi\neq 0$ 所以這步合法。已經沒有東西可再約：$6\pi$ 與 $4+\pi$ 沒有公因式，因為 $4+\pi$ 不是 $\pi$ 的倍數。

5. 5

   數值驗算。 取 $\pi=3.14159265$，原式為 $\dfrac{192(9.869604379)}{128(3.14159265)+32(9.869604379)}=\dfrac{1894.964041}{402.1238592+315.8273401}=\dfrac{1894.964041}{717.9511993}=2.639405$，化簡後的式子給出 $\dfrac{6(3.14159265)}{7.14159265}=\dfrac{18.8495559}{7.14159265}=2.639405$。兩者到小數第六位一致。