證明：秩為 r 的矩陣可以寫成 r 個秩 1 矩陣之和，但不能寫成少於 r 個秩 1 矩陣之和。

Step-by-step solution

1. 1

   把命題拆成兩個彼此獨立的敘述。 「恰好 $r$ 個可行」是一個存在性敘述，需要給出構造；「少於 $r$ 個不行」是一個不可能性敘述，需要一個不等式。兩半用的工具完全不同，而且誰也推不出誰。

2. 2

   先為行空間造一組基底。 由 $\operatorname{rank}(A)=r$ 可知 $A$ 的行空間維數是 $r$，所以 $A$ 之中有 $r$ 個線性獨立的行 $u_1,\dots,u_r$ 把它張成。於是 $A$ 的每一行 $a_j$ 都是這組基底的線性組合

   $a_j=c_{1j}u_1+c_{2j}u_2+\cdots+c_{rj}u_r$

3. 3

   把這些組合打包成矩陣乘積。 把各個 $u_i$ 排成一個 $m\times r$ 矩陣 $U$，把係數排成一個 $r\times n$ 矩陣 $C$，就得到秩分解

   $A=UC$

   這就是整個構造的壓縮寫法——剩下要做的只是把它讀對。

4. 4

   把這個乘積展開成外積之和。 用 $v_i^{T}$ 記 $C$ 的第 $i$ 列，依分塊乘法有

   $A=UC=\sum_{i=1}^{r}u_i v_i^{T}$

   每個 $u_iv_i^{T}$ 的每一行都是 $u_i$ 的純量倍，所以它的行空間由單一向量 $u_i$ 張成，$\operatorname{rank}(u_iv_i^{T})=1$。前一半到此證完。

5. 5

   後一半靠秩的次可加性。 對任意矩陣都有 $\operatorname{rank}(B+C)\le\operatorname{rank}(B)+\operatorname{rank}(C)$，因為 $B+C$ 的行空間包含在兩個行空間之和裡。反覆迭代就得到

   $\operatorname{rank}(B_1+\cdots+B_k)\le\sum_{i=1}^{k}\operatorname{rank}(B_i)$

6. 6

   導出矛盾。 假設 $A=B_1+\cdots+B_k$，其中每個 $\operatorname{rank}(B_i)=1$。那麼

   $r=\operatorname{rank}(A)\le\underbrace{1+1+\cdots+1}_{k}=k$

   於是 $k\ge r$；$k<r$ 的分解根本不存在。再結合前面的構造，秩 1 加項的最少個數恰好就是 $r$。$\blacksquare$