解方程式 x = 0.4 × 200 + 0.4x，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   先把數值乘積算出來。 $0.4\times200=80$，於是

   $x=80+0.4x$

   現在未知數在等號兩邊都出現了，這也是全題唯一真正的難點。

2. 2

   想清楚為什麼不能直接除。 把式子讀成 $x=80/0.4=200$，就等於無視了右邊的 $0.4x$。由於 $x$ 的定義裡有一部分是它自己，所以必須先把含 $x$ 的項歸併起來，才能做任何除法。

3. 3

   把 0.4x 移到左邊。 兩邊同減 $0.4x$，再提出公因式：

   $x-0.4x=80\qquad\Longrightarrow\qquad (1-0.4)x=80\qquad\Longrightarrow\qquad 0.6x=80$

   真正起作用的係數是 $1-0.4=0.6$，而不是 $0.4$。

4. 4

   除以 0.6。

   $x=\frac{80}{0.6}=\frac{800}{6}=\frac{400}{3}=133.\overline{3}\approx133.33$

   小數是循環的，所以精確分數 $\tfrac{400}{3}$ 是更乾淨的答案。

5. 5

   和同類的幾道題對照。 方程式 $x=c\cdot200+cx$ 的一般解是 $x=\dfrac{200c}{1-c}$：$c=0.3$ 時得 $\tfrac{600}{7}\approx85.71$，$c=0.35$ 時得 $\tfrac{1400}{13}\approx107.69$，$c=0.4$ 時得 $\tfrac{400}{3}\approx133.33$。當 $c$ 越靠近 $1$，增長越快，而到了那裡式子根本無解。

6. 6

   代入驗算。 取 $x=\tfrac{400}{3}$：右邊是 $80+0.4\cdot\tfrac{400}{3}=80+\tfrac{160}{3}=\tfrac{240+160}{3}=\tfrac{400}{3}$ ✓，用精確分數運算與左邊完全一致。