用因式分解解 (2x − 1)(2x − 1) − x × x = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   把重複相乘的部分改寫成平方。 兩個一模一樣的因式、兩個一模一樣的 $x$，其實就是把平方攤開來寫：

   $(2x-1)(2x-1) - x \cdot x = (2x-1)^2 - x^2 = 0$

   看出這兩個平方就是整題的訣竅；直接展開成 $3x^2 - 4x + 1$ 也解得出來，但那樣就把結構丟掉了。

2. 2

   對上平方差的型式。 恆等式是

   $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

   其中 $a = 2x - 1$、$b = x$。注意 $a$ 本身是一個二項式，這沒關係：這個型式只在意每一項都是完全平方。

3. 3

   套用型式，再把每個括號化簡。

   $(2x-1)^2 - x^2 = \big[(2x-1) - x\big]\big[(2x-1) + x\big]$

   $(2x-1) - x = x - 1, \qquad (2x-1) + x = 3x - 1$

   $\Longrightarrow \quad (x - 1)(3x - 1) = 0$

   乘回去得到 $3x^2 - 4x + 1$，與直接展開原式的結果一致。

4. 4

   用乘積為零的性質。 一個乘積等於零，恰恰就是其中某個因式等於零：

   $x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 1$

   $3x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{1}{3}$

5. 5

   把兩個根代回原式檢查。 取 $x = 1$：$(2-1)^2 - 1^2 = 1 - 1 = 0$。取 $x = \tfrac13$：$\left(\tfrac23 - 1\right)^2 - \left(\tfrac13\right)^2 = \tfrac19 - \tfrac19 = 0$。兩個都成立，所以解集合是 $\left\{1, \tfrac13\right\}$。