用代入消去法解聯立方程式 3x + 2y + 5z = 7，x + 2y + 5z = 4，−x + 3y + z = 2，3x + 4y + 5z = 32。

Step-by-step solution

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   先注意這是一組超定的方程式。 方程式有四個，未知數卻只有三個。這樣的方程組通常無解：第四式比未知數能吸收的條件多出一條，所以有一部分工作就是先判斷這些式子究竟相不相容。

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   從第 (2) 式解出 x。 由 $x+2y+5z=4$ 得 $x=4-2y-5z$。挑第 (2) 式很自然，因為那裡 $x$ 的係數是 $1$，不會帶出分數。

3. 3

   代入其餘三式。 代入 (1)：$3(4-2y-5z)+2y+5z=7$ 化為 $4y+10z=5$，記作 (A)。代入 (3)：$-(4-2y-5z)+3y+z=2$ 給出 $5y+6z=6$，記作 (B)。代入 (4)：$3(4-2y-5z)+4y+5z=32$ 給出 $2y+10z=-20$，記作 (C)。

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   解 (A) 與 (C) 這一組。 用 (A) 減 (C) 消去 $z$：$(4y+10z)-(2y+10z)=5-(-20)$，即 $2y=25$，得 $y=\frac{25}{2}$。再代回 (C) 得 $25+10z=-20$，所以 $z=-\frac92$。

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   把這組值代進 (B) 檢驗。 $5\left(\frac{25}{2}\right)+6\left(-\frac92\right)=\frac{125}{2}-27=\frac{71}{2}=35.5$，可是 (B) 要求的是 $6$。三個化簡後的式子無法同時成立。

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   下結論，並用秩再確認一遍。 由於這組方程式推出的結果與另一式互相矛盾，它們不相容。係數矩陣的秩是 $3$，而增廣矩陣的秩是 $4$，這正是無解的 Rouché–Capelli 判別條件。更具體地說，$(1)-(2)$ 迫使 $x=\frac32$，$(4)-(1)$ 迫使 $y=\frac{25}{2}$，再由 (2) 迫使 $z=-\frac92$；把這組值代入第 (3) 式得到 $-\frac32+\frac{75}{2}-\frac92=\frac{63}{2}=31.5$，而不是 $2$。