解連鎖不等式 (x + 1)(x + 2) ≥ (x + 3)(x + 4) ≥ (x + 5)(x + 6)，並以區間寫出解集合。

Step-by-step solution

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   先把連鎖不等式拆成兩個獨立的不等式。 形如 $A\ge B\ge C$ 的敘述，其實是兩個必須同時成立的條件：

   $\text{(I)}\quad (x+1)(x+2)\ge(x+3)(x+4),\qquad \text{(II)}\quad (x+3)(x+4)\ge(x+5)(x+6)$

   最後的答案是兩組解集合的交集，不是聯集。很多人會忍不住直接比較最外面的 $(x+1)(x+2)$ 與 $(x+5)(x+6)$，但那是比較弱的條件，會得到範圍過大的錯誤答案。

2. 2

   把 (I) 兩邊展開，看二次項如何相消。 乘開後得到

   $x^2+3x+2\ \ge\ x^2+7x+12$

   兩邊的最高次項都是 $x^2$，所以兩邊同減 $x^2$ 是合法的，剩下一個一次不等式：

   $3x+2\ \ge\ 7x+12$

   這個相消正是本題的重點：因為這些平移後的乘積首項係數都是 $1$，所以完全不需要符號表或拋物線分析。

3. 3

   解一次不等式 (I)。 把 $x$ 移到同一邊：

   $3x+2\ge 7x+12\ \Longrightarrow\ -10\ge 4x\ \Longrightarrow\ x\le-\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}$

   除以正數 $4$ 不會改變不等號方向；只有乘除負數時方向才要反轉。把 $-\tfrac52\ge x$ 由右往左讀，就是 $x\le-\tfrac52$。

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   對 (II) 做同樣的事。 展開後，

   $x^2+7x+12\ \ge\ x^2+11x+30\ \Longrightarrow\ 7x+12\ \ge\ 11x+30$

   $-18\ \ge\ 4x\ \Longrightarrow\ x\le-\frac{18}{4}=-\frac{9}{2}$

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   取兩個條件的交集。 我們需要 $x\le-\tfrac52$ 且 $x\le-\tfrac92$ 同時成立。因為 $-\tfrac92=-4.5$ 在 $-\tfrac52=-2.5$ 的左邊，第二個條件比較嚴格，成立時第一個自動成立：

   $x\le-\frac{9}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left(-\infty,\,-\frac{9}{2}\right]$

6. 6

   取一個範圍內、一個範圍外的值檢驗。 代 $x=-5$：$(-4)(-3)=12$、$(-2)(-1)=2$、$(0)(1)=0$，而 $12\ge2\ge0$ 成立。✓ 代 $x=-4$（滿足 (I) 但不滿足 (II)）：$(-3)(-2)=6$、$(-1)(0)=0$、$(1)(2)=2$，而 $0\ge2$ 不成立。✗ 這也印證了必須取交集而非聯集，而端點 $x=-\tfrac92$ 要算進去，因為兩個不等式都允許等號。