計算四列分別為 (19,5,7,8)、(18,4,4,4)、(9,1,2,1)、(9,2,3,4) 的 4×4 矩陣的行列式。

Step-by-step solution

1. 1

   用第 3 列對付第一行。 第 $3$ 列以 $9$ 開頭，其他三列的首項是 $19$、$18$、$9$。減去第 $3$ 列的倍數（這個運算保持行列式不變）可得

   $R_1\leftarrow R_1-2R_3,\quad R_2\leftarrow R_2-2R_3,\quad R_4\leftarrow R_4-R_3$

   $\begin{vmatrix}1&3&3&6\\0&2&0&2\\9&1&2&1\\0&1&1&3\end{vmatrix}$

   注意 $19-18=1$，所以第一行還沒完全清乾淨——還要再做一步。

2. 2

   用新出現的領導 1 把這一行清完。

   $R_3\leftarrow R_3-9R_1\quad\Longrightarrow\quad (0,\ 1-27,\ 2-27,\ 1-54)=(0,-26,-25,-53)$

   $\begin{vmatrix}1&3&3&6\\0&2&0&2\\0&-26&-25&-53\\0&1&1&3\end{vmatrix}$

3. 3

   沿第一行展開。 只剩下領導的 $1$，餘因子符號為 $+$：

   $\det=1\cdot\begin{vmatrix}2&0&2\\-26&-25&-53\\1&1&3\end{vmatrix}$

4. 4

   化簡並算出這個 3×3。 把第一列的 $2$ 提出來：

   $2\begin{vmatrix}1&0&1\\-26&-25&-53\\1&1&3\end{vmatrix}=2\Big[1(-75+53)-0+1(-26+25)\Big]=2\big[-22-1\big]=2(-23)=-46$

   $\boxed{-46}$

5. 5

   和姊妹題的數值互相對照。 非常相似、四列為 $(18,5,7,8),(18,3,4,4),(9,1,1,1),(9,2,3,4)$ 的矩陣，行列式是 $9$；這裡改了四個元素，值就變成 $-46$，連正負號都翻了。因為行列式是交錯的多重線性函數，兩個值之間不該指望有什麼平滑的關係——每一題都必須獨立計算。