設 g(x) = 2x − 4（當 −2 < x ≤ 5）、g(x) = x² − 2x + 3（當 x > 5），求 g(−1)、g(7)、g(0) 與 g(−2)。

Step-by-step solution

1. 1

   分段函數要用對的作業順序。對每個輸入值，先用條件判斷該用哪一段，然後才代入。代錯段就是這類題唯一的失分方式。

2. 2

   (a) g(-1)。$-2<-1\le 5$ 成立，所以用第一段：

   $g(-1)=2(-1)-4=-2-4=-6.$

3. 3

   (b) g(7)。$7>5$ 成立，所以用第二段：

   $g(7)=7^{2}-2(7)+3=49-14+3=38.$

4. 4

   (c) g(0)。$-2<0\le 5$ 成立，一樣用第一段：

   $g(0)=2(0)-4=-4.$

5. 5

   (d) g(-2) —— 仔細看不等號。第一段要求 $-2<x$，是嚴格不等式，所以 $x=-2$ 不符合。第二段要求 $x>5$，$-2$ 同樣不符合。沒有任何一段涵蓋 $-2$，所以

   $g(-2)\ \text{沒有定義。}$

   如果條件寫成 $-2\le x\le 5$，答案就會是 $2(-2)-4=-8$。差別只在一個符號，卻是整題的關鍵。

6. 6

   **由此寫出定義域。**兩個條件合起來涵蓋 $(-2,5]\cup(5,\infty)=(-2,\infty)$，所以 $g$ 對每個 $x>-2$ 有定義，其餘則沒有。順帶一提，兩段其實接不起來：第一段在 $x=5$ 到達 $2(5)-4=6$，而第二段在剛越過該點時趨近 $25-10+3=18$，所以圖形在 $x=5$ 處有跳躍。