設 a 與 b 為正實數，m = a^3 + b^3、n = a^2b + ab^2，比較 m 與 n 的大小。

Step-by-step solution

1. 1

   用作差法，不要用作商法。 比較兩個式子時，最可靠的做法是研究 $m-n$ 的正負：若 $m-n>0$ 則 $m>n$，若 $m-n=0$ 則兩者相等，若 $m-n<0$ 則 $m<n$。這題因為 $a,b>0$，作商也可行，但作差能讓整個式子維持多項式形式、方便因式分解。

2. 2

   寫出差式並兩兩分組。

   $m-n=a^3+b^3-a^2b-ab^2$

   把立方項和含有同一個變數的交叉項配成一組：

   $m-n=(a^3-a^2b)+(b^3-ab^2)=a^2(a-b)+b^2(b-a)$

3. 3

   提出公因式 $(a-b)$。 因為 $b-a=-(a-b)$，

   $m-n=a^2(a-b)-b^2(a-b)=(a-b)(a^2-b^2)$

   又 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，所以

   $\boxed{m-n=(a+b)(a-b)^2}$

   這個因式分解就是整題的關鍵：它把「比較大小」變成「判斷正負」。

4. 4

   直接讀出正負。 由 $a>0$、$b>0$ 得 $a+b>0$，而對任何實數都有 $(a-b)^2\ge 0$。正數乘以非負數仍為非負，所以

   $m-n\ge 0\qquad\Longrightarrow\qquad m\ge n$

5. 5

   確認等號何時成立。 乘積 $(a+b)(a-b)^2$ 為零，只可能是某個因式為零。因為 $a+b>0$，等號成立就必須 $(a-b)^2=0$，也就是 $a=b$。因此

   $a^3+b^3>a^2b+ab^2\ \text{，若 } a\neq b,\qquad a^3+b^3=a^2b+ab^2\ \text{，若 } a=b$

6. 6

   代數字檢驗。 取 $a=3,b=1$：$m=27+1=28$、$n=9+3=12$，而 $(a+b)(a-b)^2=4\cdot 4=16=28-12$，完全吻合。取 $a=b=2$：$m=16$、$n=16$，如預期相等。同一個恆等式也順便證明了常見的結論：對正數 $a,b$ 恆有 $a^3+b^3\ge ab(a+b)$。