解不等式：x 乘以以 1/3 為底 (1/2 - x) 的對數，大於或等於 x 的絕對值。

Step-by-step solution

1. 1

   動手解之前先確定定義域。 對數的真數必須嚴格為正：

   $\frac12-x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac12$

   以下所有討論都限定在 $\left(-\infty,\tfrac12\right)$ 之內；任何落在外面的候選解自動捨去。

2. 2

   依 $x$ 的正負分情況，因為 $|x|$ 與不等號方向都取決於它。 令 $L=\log_{1/3}\!\left(\tfrac12-x\right)$，不等式即 $xL\ge|x|$。除以 $x$ 是很自然的一步，但 $x$ 的正負同時決定了 $|x|$ 展開成什麼以及不等號要不要反轉，所以 $x>0$、$x=0$、$x<0$ 三種情況必須分開處理。

3. 3

   情況 $x>0$。 此時 $|x|=x$，除以正數 $x$ 不改變方向：

   $L\ge 1$

   底數 $\tfrac13$ 小於 $1$，所以 $\log_{1/3}$ 是遞減的：$\log_{1/3}t\ge 1$ 反轉成 $0<t\le\left(\tfrac13\right)^{1}=\tfrac13$。因此

   $0<\frac12-x\le\frac13\quad\Longleftrightarrow\quad \frac16\le x<\frac12$

   再與 $x>0$ 取交集，得 $\left[\tfrac16,\tfrac12\right)$。

4. 4

   情況 $x<0$。 此時 $|x|=-x$，把 $xL\ge-x$ 除以負數 $x$ 會使不等號反轉：

   $L\le -1$

   同樣利用 $\log_{1/3}$ 遞減，$\log_{1/3}t\le-1$ 變成 $t\ge\left(\tfrac13\right)^{-1}=3$：

   $\frac12-x\ge3\quad\Longleftrightarrow\quad x\le-\frac52$

   這些 $x$ 都是負的、也都在定義域內，所以整條射線 $\left(-\infty,-\tfrac52\right]$ 都是解。

5. 5

   情況 $x=0$——千萬別漏掉。 直接代入得 $0\cdot L=0$、$|0|=0$，不等式成為 $0\ge0$，成立。孤立點 $x=0$ 是貨真價實的解，儘管它不落在前面任何一個區間裡；而它正是隨手把兩邊除以 $x$ 就會弄丟的那一個解。

6. 6

   整合並抽查。 解集合為

   $x\in\left(-\infty,-\frac52\right]\cup\{0\}\cup\left[\frac16,\frac12\right)$

   檢查兩個邊界點：$x=-\tfrac52$ 時 $\tfrac12-x=3$、$\log_{1/3}3=-1$，左邊為 $(-\tfrac52)(-1)=\tfrac52=|x|$——等號成立。$x=\tfrac16$ 時 $\tfrac12-x=\tfrac13$、$\log_{1/3}\tfrac13=1$，左邊為 $\tfrac16=|x|$——等號同樣成立。再取一個被排除區域裡的值，例如 $x=-1$，得 $(-1)\log_{1/3}\tfrac32\approx0.369$，小於 $|x|=1$，確實應該排除。