把 (1/2)x⁴y² + (1/3)x³y³ + (1/4)x²y⁴ 完全分解。

Step-by-step solution

1. 1

   把變數與係數當成兩件事分開處理。 求公因式時，變數取每一項都有的最低次方，係數則另外找能整除全部係數的最大者。把兩件事攪在一起，正是分數係數讓人混亂的原因。

2. 2

   每個變數取最低次方。 $x$ 的指數是 $4,3,2$，最小的是 $x^2$；$y$ 的指數是 $2,3,4$，最小的是 $y^2$。所以公因式的變數部分是

   $x^2y^2$

3. 3

   用分母的最小公倍數挑出分數係數。 係數是 $\tfrac12,\tfrac13,\tfrac14$。因為 $\operatorname{lcm}(2,3,4)=12$，好用的共同因子是 $\tfrac{1}{12}$：每個係數除以 $\tfrac{1}{12}$ 就是乘以 $12$，而 $\tfrac{12}{2}=6$、$\tfrac{12}{3}=4$、$\tfrac{12}{4}=3$ 全都是整數。沒有更大的分數能同時清掉三個分母，所以公因式是

   $\frac{1}{12}x^2y^2$

4. 4

   三項各除以公因式。 除以 $\tfrac{1}{12}$ 就是乘以 $12$，變數的指數則相減：

   $\frac{\tfrac12 x^4y^2}{\tfrac1{12}x^2y^2}=6x^2,\qquad \frac{\tfrac13 x^3y^3}{\tfrac1{12}x^2y^2}=4xy,\qquad \frac{\tfrac14 x^2y^4}{\tfrac1{12}x^2y^2}=3y^2$

5. 5

   寫出分解式，並檢查括號能不能再分。

   $\frac{1}{12}x^2y^2\left(6x^2+4xy+3y^2\right)$

   把括號看成 $x$ 的二次式，判別式是 $(4y)^2-4(6)(3y^2)=16y^2-72y^2=-56y^2<0$（$y\neq 0$ 時），所以它在實數上不可分解，因式分解已經完成。

6. 6

   展開回去驗算。 $\tfrac1{12}x^2y^2\cdot 6x^2=\tfrac12x^4y^2$、$\tfrac1{12}x^2y^2\cdot 4xy=\tfrac13x^3y^3$、$\tfrac1{12}x^2y^2\cdot 3y^2=\tfrac14x^2y^4$。三個原項都精確地被還原出來。