解 x/(x + 100) − (x + 25)/(x + 125) = 0.1。

Step-by-step solution

1. 1

   先寫定義域，並把 $0.1$ 寫成分數。 分母在 $x=-100$ 與 $x=-125$ 處為零，所以這兩個值一開始就要排除。另外把 $0.1=\dfrac{1}{10}$ 寫成分數，好讓整個方程式都停在精確運算裡。

2. 2

   把左邊通分到公分母 $(x+100)(x+125)$ 上。

   $\frac{x(x+125)-(x+25)(x+100)}{(x+100)(x+125)}$

   把兩個乘積展開：

   $x(x+125)=x^{2}+125x,\qquad (x+25)(x+100)=x^{2}+125x+2500$

3. 3

   看著分子縮成一個常數。 二次項與一次項全部相消：

   $\left(x^{2}+125x\right)-\left(x^{2}+125x+2500\right)=-2500$

   於是方程式就只是

   $\frac{-2500}{(x+100)(x+125)}=\frac{1}{10}$

   這就是整道題的結構要點：只要 $(x+100)(x+125)>0$，左邊就恆為負，所以想跟正的 $\tfrac{1}{10}$ 相等，唯一的希望就是區間 $-125<x<-100$。

4. 4

   交叉相乘並展開。

   $-25000=(x+100)(x+125)=x^{2}+225x+12500$

   $\Longrightarrow\ x^{2}+225x+37500=0$

5. 5

   算判別式。 取 $a=1$、$b=225$、$c=37500$：

   $b^{2}-4ac=50625-150000=-99375<0$

   判別式為負就表示沒有實根，所以原方程式沒有實數解。（這與第 3 步一致：在 $-125<x<-100$ 上，乘積 $(x+100)(x+125)$ 的絕對值最大也遠遠不夠大到能給出 $-25000$。）

6. 6

   如果需要複數根，也一併寫出。 由於 $99375=625\cdot 159$，有 $\sqrt{-99375}=25i\sqrt{159}$，於是

   $x=\frac{-225\pm 25i\sqrt{159}}{2}=-112.5\pm 157.619i$

   把其中任一個值代回原式，都能在機器精度內還原出 $0.1$。