描述並畫出同時滿足 x + y ≤ 6 與 x ≥ 2 的所有點所構成的區域。

Step-by-step solution

1. 1

   把兩個不等式當成一個聯立來處理。 一個點要屬於解，必須同時滿足兩式，所以答案是兩個半平面的交集——不是聯集：

   $\begin{cases}x+y\le 6\\ x\ge 2\end{cases}$

2. 2

   把第一個不等式寫成斜截式。 兩邊同減 $x$：

   $y\le 6-x$

   邊界 $y=6-x$ 是一條斜率為 $-1$、通過 $(0,6)$ 與 $(6,0)$ 的直線，因為是 $\le$ 所以畫成實線。把它以及它下方的部分全部塗上。

3. 3

   解讀第二個不等式。 $x\ge 2$ 對應一條鉛直的邊界線 $x=2$，同樣是實線，把線上與右側的部分全部塗上。注意式子裡沒有 $y$，所以這個限制在任何高度上都一樣。

4. 4

   找出頂點。 兩條邊界相交於 $x=2$ 且 $y=6-x$ 之處，也就是

   $(2,\,4)$

   這是整個區域唯一的頂點；由於兩條邊界都含在解裡，它本身也屬於解。

5. 5

   確認圖形是無界的。 從 $(2,4)$ 出發，這個區域往右下方無限延伸：例如 $(100,-1000)$ 就滿足 $x\ge 2$ 且 $x+y=-900\le 6$。所以這是一塊無限延伸的楔形，而不是三角形——沒有第三條邊界把它封起來。

6. 6

   寫出這個區域。 檢驗 $(3,0)$：$3\ge 2$ $\checkmark$ 且 $3+0=3\le 6$ $\checkmark$，所以它在區域內。解集合是

   $\{(x,y): x\ge 2\ \text{且}\ y\le 6-x\}$