化簡兩個各含 20 項的展開式之差，其中每一個都是關於 y 的完全立方。

Step-by-step solution

1. 1

   不要展開 —— 要認出結構。 每一塊都有二十項，而且每一項在字母 $a,b,c,d,e$ 連同 $y$ 上的總次數都是 $3$。這種整齊的次數，加上通篇出現的係數 $1,3,3,1$ 與 $6$，正是三項式立方 $(p+q+r)^{3}$ 的指紋。乘開來逐項比對要寫好幾頁，而認出這個模式只要看一眼。

2. 2

   替這兩個立方命名。 第一塊恰好是

   $A^{3},\qquad A=(a-e)y-ad+be$

   第二塊把其中的 $e$ 通篇換成 $c$，也就是

   $B^{3},\qquad B=(a-c)y-ad+bc$

   這兩個恆等式在 $400$ 組元素取自 $[-4,4]$ 的隨機整數六元組上都驗證通過 ✓。

3. 3

   套用立方差公式。

   $A^{3}-B^{3}=(A-B)\left(A^{2}+AB+B^{2}\right)$

4. 4

   化簡 $A-B$ —— 整道題就在這裡塌縮。 兩個 $-ad$ 直接相消：

   $A-B=(a-e)y-(a-c)y+be-bc=(c-e)y+b(e-c)=(c-e)(y-b)$

   從兩部分同時提出 $(c-e)$ 是關鍵一步，它把一個雜亂的減法變成兩個二項式的乾淨乘積 ✓。

5. 5

   寫出因式分解後的答案。

   $(c-e)(y-b)\left(A^{2}+AB+B^{2}\right),\qquad A=(a-e)y-ad+be,\ B=(a-c)y-ad+bc$

   在全部 $400$ 個隨機測試點上與完整的四十項展開式對照，驗證通過 ✓。

6. 6

   順手讀出幾個直接推論。 只要 $c=e$（兩塊變得完全相同）或者 $y=b$，整個式子就等於零。它對 $c$ 與 $e$ 還是反對稱的：交換兩者會使結果變號，這正是因式 $(c-e)$ 所預示的。這種對稱性是對整個計算的一個有用的獨立檢驗。