解方程式 0.2 · 0.2 · x⁶ + x⁴ + x² − 4 = 0，求 x 的實數值。

Step-by-step solution

1. 1

   先化簡係數、去掉小數。 由於 $0.2\times 0.2=0.04$，方程式就是 $0.04x^{6}+x^{4}+x^{2}-4=0$。兩邊同乘 $25$ 便得到整數係數：

   $x^{6}+25x^{4}+25x^{2}-100=0$

2. 2

   用變數代換降次。 式中只出現 $x$ 的偶次方，所以令 $y=x^{2}$（於是 $x^{6}=y^{3}$、$x^{4}=y^{2}$）：

   $y^{3}+25y^{2}+25y-100=0$

   關鍵的一點是 $y=x^{2}\ge 0$，所以只有非負的根 $y$ 才能給出實數 $x$。

3. 3

   排除有理根。 依有理根定理，候選值是 $100$ 的各個因數：$\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm10,\pm20,\pm25,\pm50,\pm100$。逐個代入都不為零，所以這個三次式在有理數上分解不了，根只能靠數值方法求。

4. 4

   把那個正根圈進一個區間。 記 $g(y)=y^{3}+25y^{2}+25y-100$，則

   $g(1)=1+25+25-100=-49<0,\qquad g(2)=8+100+50-100=58>0$

   於是由介值定理，$(1,2)$ 內必有一個根。又因為 $y>0$ 時 $g'(y)=3y^{2}+50y+25>0$，$g$ 在那裡嚴格遞增，所以這個根是唯一的非負根。

5. 5

   用牛頓法加細。 從 $y_{0}=1.5$ 出發迭代 $y\leftarrow y-\dfrac{g(y)}{g'(y)}$，收斂到

   $y\approx 1.526734392725$

   （三次式另外兩個根 $y\approx -2.75539$ 與 $y\approx -23.77135$ 都是負的，給不出實數 $x$。）

6. 6

   代換回去並檢驗。 由 $x^{2}=y$，

   $x=\pm\sqrt{1.526734392725}\approx\pm 1.235610939060$

   把 $x=1.235610939060$ 代回 $0.04x^{6}+x^{4}+x^{2}-4$，在機器精度下結果是 $0$。方程式是偶的，所以兩個根對稱於原點。