解不等式 (x − 2)³ (x − 4)⁴ (x − 5)³ (x − 10)⁶ ≤ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   列出零點及其重數。 乘積恰好在下面這些點為零：

   $x=2\ (\text{重數 }3),\quad x=4\ (\text{重數 }4),\quad x=5\ (\text{重數 }3),\quad x=10\ (\text{重數 }6).$

   由於不等式用的是 $\le$ 而不是 $<$，這四個點自動都是解——這個細節在 $x=10$ 處影響很大。

2. 2

   用指數的奇偶把問題縮小。 偶次方永不為負，所以 $(x-4)^{4}$ 與 $(x-10)^{6}$ 處處 $\ge 0$，在任何地方都翻不動正負號。於是在零點之外，整個乘積的正負號就等於

   $(x-2)^{3}(x-5)^{3},$

   的正負號；而三次方保持正負號，所以它又與 $(x-2)(x-5)$ 同號。

3. 3

   讀出 $(x-2)(x-5)$ 的正負號。 這條開口向上的拋物線在兩根之間嚴格為負、在兩根之外為正：

   $(x-2)(x-5)<0\iff 2<x<5.$

   所以乘積在 $(2,5)$ 上為負——只不過在 $x=4$ 處它等於零，而零仍然滿足 $\le 0$，所以那裡什麼也沒丟——並在 $(-\infty,2)\cup(5,10)\cup(10,\infty)$ 上為正。

4. 4

   拼出解，別漏掉那個孤立點。 把為負的區間和四個零點合起來：

   $[2,5]\cup\{10\}.$

   點 $x=10$ 是孤立的：它兩側的乘積都嚴格為正（那是一個六次方乘上若干正因式），但在 $x=10$ 本身乘積等於 $0$，而 $\le$ 是接納零的。漏掉這個點，是這類題裡最常見的錯誤。

5. 5

   用取樣值驗證。 $x=0$：$(-8)(256)(-125)(10^{6})>0$，不在解裡 ✓。$x=3$：$(1)(1)(-8)(\ldots)=-941192<0$，在解裡 ✓。$x=4.5$：$\approx-3379<0$，在解裡 ✓。$x=6$：$+4194304>0$，不在解裡 ✓。$x=9$：$+13720000>0$，不在解裡 ✓。$x=10$：恰好是 $0$，在解裡 ✓。$x=11$：$+378071064>0$，不在解裡 ✓。