三個三角形的九個內角依序是 n1, n2, …, n9 度，它們都是正整數且構成公差為正的等差數列。若其中一個角是 78 度，求 n1 所有可能值之和。

Step-by-step solution

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   用內角總和把中間項定下來。 三個三角形一共貢獻 $3\times 180=540$ 度。對九項的等差數列而言，總和等於中間項的九倍：

   $\sum_{i=1}^{9}n_i=9n_5=540\quad\Longrightarrow\quad n_5=60.$

   所以不論 $d$ 取多少，這個數列都以 $60$ 為中心：$n_i=60+(i-5)d$。

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   把「有一個角是 78 度」轉成整除條件。 若 $n_k=78$，則

   $60+(k-5)d=78\quad\Longrightarrow\quad (k-5)d=18.$

   因為 $d>0$，必有 $k>5$，於是 $k-5\in\{1,2,3,4\}$，而 $d=\dfrac{18}{k-5}$ 要是正整數。只有 $k-5=1,2,3$ 能整除 $18$，得到

   $d=18,\ 9,\ 6.$

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   排除會讓某個角不為正的情形。 首項是 $n_1=60-4d$：

   $d=18\Rightarrow n_1=-12\ (\text{捨去}),\qquad d=9\Rightarrow n_1=24,\qquad d=6\Rightarrow n_1=36.$

   最大的項是 $n_9=60+4d$，分別為 $96$ 與 $84$——都小於 $180$，所以每個角都是合法的三角形內角。

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   確認這九個角真的能湊成三個三角形。 記 $n_i=60+(i-5)d$，偏移量依序是 $-4,-3,\ldots,4$。把它們分成 $\{-4,0,4\}$、$\{-3,1,2\}$ 與 $\{-2,-1,3\}$ 三組，每組偏移量之和都是零，於是每組三個角之和都是 $3\times 60=180$。這樣的分組對任何 $d$ 都存在，所以這個條件不帶來新的限制。

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   把留下來的兩個數列都檢查一遍。

   $d=6:\ 36,42,48,54,60,66,72,\mathbf{78},84$
   $d=9:\ 24,33,42,51,60,69,\mathbf{78},87,96$

   兩個數列都含有 $78$，都嚴格遞增，且每一項都是正整數。

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   把可能的首項加起來。

   $24+36=60.$

   對所有可行的公差做一次窮舉搜尋，確認就只有這兩種情形。