已知 z⁴ + 2x²z² + 2y²z² − 8z = 0，把 z 表示成 x 與 y 的函數。

Step-by-step solution

1. 1

   提出公因式 $z$。 每一項至少含一個 $z$：

   $z\left(z^{3}+2x^{2}z+2y^{2}z-8\right)=0\ \Longrightarrow\ z\left(z^{3}+2\left(x^{2}+y^{2}\right)z-8\right)=0$

   所以 $z=0$ 是其中一支，對每個 $(x,y)$ 都成立；接下來的工作都在那個三次因式上。

2. 2

   引入極座標半徑，把結構顯露出來。 兩個變數只透過 $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ 進入式子，所以這個曲面對 $z$ 軸旋轉對稱，三次式為

   $z^{3}+2r^{2}z-8=0$

   它已經是缺二次項的三次式 $z^{3}+pz+q=0$（沒有 $z^{2}$ 項），其中 $p=2r^{2}$、$q=-8$，正是卡丹諾公式適用的形式。

3. 3

   先確認實根有幾個。 三次式的判別條件用到

   $\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}=16+\frac{8r^{6}}{27}$

   對每個 $r$ 它都是正的，因為兩項都非負，而第一項是 $16$。這個值為正代表恰有一個實根與兩個複數根，所以非零的那一支是單值的——不必分情況討論。

4. 4

   套用卡丹諾公式。 由於 $-\dfrac{q}{2}=4$，

   $z=\sqrt[3]{4+\sqrt{16+\frac{8r^{6}}{27}}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{16+\frac{8r^{6}}{27}}}$

   第二個立方根裡是負數（因為那個平方根大於 4），但實數的立方根本來就可以取負值，沒有問題。

5. 5

   用原本的變數寫出答案。

   $f(x,y)=\sqrt[3]{4+\sqrt{16+\frac{8\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{16+\frac{8\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}{27}}}$

6. 6

   在原點做合理性檢查。 當 $x=y=0$ 時三次式為 $z^{3}=8$，得 $z=2$；公式給出 $\sqrt[3]{4+4}+\sqrt[3]{4-4}=2+0=2$ ✓。當 $r\to\infty$ 時兩個立方根幾乎抵消，$z\to 0^{+}$，與三次式的 $2r^{2}z\approx 8$ 一致，也就是 $z\approx 4/r^{2}$ ✓。