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Algebra · real student question

解不等式 3x + 1 − 300 < 4.2x − 1.8 + 4x − 80。

Question

解不等式 3x+1−300<4.2x−1.8+4x−803x+1-300<4.2x-1.8+4x-80。

Step-by-step solution

  1. 先把兩邊各自化簡，再談移項。 左邊：3x+1−300=3x−2993x+1-300 = 3x-299。右邊：xx 的項是 4.2x+4x=8.2x4.2x+4x = 8.2x，常數是 −1.8−80=−81.8-1.8-80 = -81.8，所以右邊是 8.2x−81.88.2x-81.8。不等式現在成了 3x−299<8.2x−81.8.3x-299 < 8.2x-81.8.

  2. 把 x 的項移到能讓係數保持為正的那一邊。 兩邊同減 3x3x，右邊剩下 8.2x−3x=5.2x8.2x-3x = 5.2x： −299<5.2x−81.8.-299 < 5.2x-81.8. 選這個方向可以避免之後除以負數，除以負數就得反轉不等號。

  3. 孤立含 x 的項。 兩邊同加 81.881.8： −299+81.8=−217.2<5.2x.-299+81.8 = -217.2 < 5.2x.

  4. 同除以 5.2，方向不變。 因為 5.2>05.2>0，不等號方向不受影響： x>−217.25.2.x > \frac{-217.2}{5.2}.

  5. 把邊界算成精確值。 分子分母同乘 1010 得 −217252=−54313=−41.769230‾\dfrac{-2172}{52} = -\dfrac{543}{13} = -41.\overline{769230}，所以 x>−54313≈−41.77.x > -\frac{543}{13} \approx -41.77. 端點被排除，因為原不等式是嚴格不等號。

  6. 兩側各取一個值檢驗。 取 x=0x=0：左邊 =−299=-299，右邊 =−81.8=-81.8，−299<−81.8-299<-81.8 成立，所以 00 在解集合裡。取 x=−50x=-50：左邊 =−449=-449，右邊 =−491.8=-491.8，−449<−491.8-449<-491.8 不成立——這和 −50<−41.77-50 < -41.77 落在解集合外的結論一致。

Answer

x>−54313≈−41.77(x∈(−54313, ∞))x > -\frac{543}{13} \approx -41.77 \quad \left(x \in \left(-\tfrac{543}{13},\ \infty\right)\right)

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