解 2x² − x − 6 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   因為首項係數不是 1，所以用 ac 法。 由 $a=2$、$b=-1$、$c=-6$，要找兩個數，乘積是 $ac=2\times(-6)=-12$、和是 $b=-1$。在這裡光猜 $c$ 的因數對是會失敗的。

2. 2

   找出那一組數。 $-12$ 的因數對是 $(1,-12),(2,-6),(3,-4),(4,-3),(6,-2),(12,-1)$；和為 $-1$ 的那一組是 $3$ 與 $-4$，因為 $3+(-4)=-1$ 且 $3\times(-4)=-12$。

3. 3

   拆開中間項再分組。

   $2x^2+3x-4x-6=0$

   $x(2x+3)-2(2x+3)=0$

   $(2x+3)(x-2)=0$

   兩組裡都出現同一個括號 $(2x+3)$，確認拆法沒有問題。

4. 4

   套用乘積為零的性質。

   $2x+3=0\Rightarrow x=-\frac32,\qquad x-2=0\Rightarrow x=2$

   $\boxed{x=2\ \text{或}\ x=-\tfrac{3}{2}}$

5. 5

   兩個根都驗算。 在 $x=2$：$2(4)-2-6=8-8=0$。在 $x=-\tfrac32$：$2\left(\tfrac94\right)+\tfrac32-6=\tfrac92+\tfrac32-6=6-6=0$。兩個都滿足方程式。

6. 6

   再用根與係數關係確認。 兩根的和應該是 $-b/a=\tfrac12$，乘積應該是 $c/a=-3$。確實 $2+(-\tfrac32)=\tfrac12$、$2\times(-\tfrac32)=-3$，所以沒有哪個根的正負號寫錯。